直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用一. 教学内容：直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。

［基本知识点］（1）直线的参数方程<1>标准形式：<2>一般形式（2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式：<1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2|<2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点⇔t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数（3）圆锥曲线的参数方程<1><2>角）。

:),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数⎩⎨⎧+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+⎩⎨⎧+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数⎩⎨⎧+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 21M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα⎩⎨⎧===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222ααα⎩⎨⎧===+<3><4>抛物线y 2=2px 的参数方程为（4）极坐标系的基本概念。

在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。

（5）极坐标与直角坐标的互化<1>互化条件：极点与直角坐标系原点重合；极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。

<2>互化公式（6）曲线的极坐标方程<1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。

<2>直线与圆的极坐标方程。

过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ）过点A （a,0），倾角为α的直线方程以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程【例题选讲】例1，M 是AB 的中点，求|MF|。

)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα⎩⎨⎧==)(t pt 2y pt 2x 2为参数⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧≠==+⎩⎨⎧==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 22 =-解：方法一依题意a =3,b =4,c =5所以F(5，0)，又直线l 的倾斜角为45度所以k=1解法2：依题意l 的参数方程为：小结： 方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t 的几何意义，使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试。

例2(m 为常数，ϕ是参数) ，和抛物线有交点，试求m 的取值范围。

解：解法1 化椭圆方程为普通方程。

5-=∴x y l 的方程为5x y 116y 9x 22-==-和联立0369x 90x 7:2=-+得7805x y 7452x x x M M 21M -=-=-=+=∴2760|MF |=∴116y 9x t 22y t 225x 22=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=代入0512t 2160t 72=-+得27802||||21=+=∴t t MF ⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 3y cos 2m x ,椭圆在直角坐标系中)t (t 6y t 23x 2为参数⎪⎩⎪⎨⎧=+=)1(012y 4)m x (322=-+-抛物线方程化为普通方程为y 2=6x-9 (2)由（1）（2）联立消去y 得x 2+2(4-m)x+m 2-16=0 (3)因为椭圆与抛物线有交点所以方程（3）的判别式：若解法2：根据题意，椭圆与抛物线有交点，而抛物线化为普通方程为y 2=6x-9(1) 又椭圆的方程为：0)16m (4)m 4(422≥---=∆4≤m 解得23x ,,0),23(,)23x (6y 2≥-=故开口向右顶点坐标为又23m 2824m m282)m 4(x (3)≥-+-∴-±--=得由m 2112m -82-≥整理得2m m 114121m 8320m 211+-≥-∴>- 27m 21≤≤-解得,m ,23m 2824m 值不存在时≥---27m 21m ,≤≤-的取值范围为综上可知)2()(sin 3y cos 2m x 为参数θθθ⎪⎩⎪⎨⎧=+=9cos 12m 63sin (1)(2)2-+=θθ得代入把4)2(cos 21m :2++-=θ整理得为最小值时当21429m ,1cos -=+-==∴θ27m 21m 27421m ,1cos ≤≤-∴=+-=-=的取值范围为为最大值时当θ例3 极坐标系中，圆ρ=4cos θ+3sin θ的圆心坐标是（ ）解法一：化为圆的一般方程。

故选A 。

解法2 依互化关系求。

例4长为8，求α的值。

解法一：)54arcsin ,5.(B )53arcsin ,25(.A )54arcsin ,25.(D )53arcsin ,5(.C )53arcsin cos(5)43arctg cos(5sin 3cos 4-=-=∴+=θρθρθθρ即 0)25()25()53arcsin cos(252222=-+-⨯=∴θρρ)53arcsin ,25(圆心坐标为∴:sin 3cos 4的直角坐标系方程是θθρ+=425)23y ()2x (y3x 4y x 2222=-+-+=+即532523sin ,25)23(2),23,2(22===+=∴θρ其极坐标可求圆心的直角坐标是被圆截得的弦直线半径为的圆心为已知圆)R ,(05,),2(6,C ∈<≤=ρπααθπ得一般方程之中代入圆的极坐标系下的及半径将圆心坐标, 5r )2,6(=π011sin 122=+-θρρ⎪⎩⎪⎨⎧==+-αθθρρ011sin 122由解法2 （几何法）设直线ρ与圆C 相交于A 、B 两点如图作CD ⊥AB 于D则|CD|=3，|OC|=6解法3 化为直角坐标方程后求解。

【同步类型题选】1.8|-|11sin 12011sin 122121212===+∴=+-ρρρραρραρρ又得644)(21221=-+∴ρρρρ64114)sin 12(2=⨯-∴α323023sin 36sin 12ππαπααα或又从而得=∴<≤=∴=x2163|OC ||OD ||cos |===∴α323),0[21cos ππαπαα或=∴∈±=∴ )(|AB |,t ,t B A,)t (bt y y at x x 2100等于则对应的参数值是上两点为参数直线⎩⎨⎧+=+=2.A. (-4 , 5)B. (-3，4)C. （-4，5）或（0，1）D. （-3，4）或（-1，2）3.4. A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且与极轴垂直的直线的方程为（ ）。

A. ρ=1B. ρ=cos θ6.A. 双曲线B. 椭圆C. 抛物线D. 圆7. 曲线ρ=sin θ和2sin θ=1的交点个数是（ ）。

8.|t t |.B |t t |.A 2121-+22212122b a |t t |.D |t t |b a .C +--+)(2P(-2,3))t (t 23y t 2--2x 的点的坐标是的距离等于上的点到为参数直线⎪⎩⎪⎨⎧+==)(,0ab ),t (bt y y at x x 00则直线的倾斜角为为参数直线<⎩⎨⎧+=+=a barctg .B a barctg .A -πabarctg D a b arctg C +-π..)(cos 22)4D(2,-),34,2C(-),4B(2,),3(0,A 上的点的个数有中在曲线点θρππππ=θρθρcos 1.cos 1.=-=D C )()4cos(所表示的曲线为θπρ-=) (,22)4sin(则极点到直线的距离为已知直线的极坐标方程=+πθρ【试题答案】1. C2. D （提示：把直线方程化为标准方程）3. D4. D5. C.（解三角形即得）6. D （化为直角坐标方程）7. 3个（数形结合）8.的直线。

解法二：将直线的极坐标化为普通方程为x+y =1,极点即为原点，原点到直线的距离为 （97年，全国高考）2222)4,22(,22)4sin(:为且极点到该直线的距离表示过点解法一ππθρ=+22。