第一章 数字信号处理概述简答题：1． 在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。

此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。

在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。

（ ）答：错。

需要增加采样和量化两道工序。

第二章 离散时间信号与系统分析基础填空题：1．设)(z H 是线性相位FIR 系统，已知)(z H 中的3个零点分别为1，0.8，1+j ，该系统阶数至少为（ ）。

解：由线性相位系统零点的特性可知，1=z 的零点可单独出现，8.0=z 的零点需成对出现，j z +=1的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。

简答题：3．何谓全通系统？全通系统的系统函数)(Z H ap 有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(Z H ap 对应的傅里叶变换幅值1)(=jw e H ，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即∏∑∑=-*-=-=---=-==Nk kkNk kkMr rrap ZZZaZbZ Q Z P Z H 111111)()()(αα。

因而，如果在k Z α=处有一个极点，则在其共轭倒数点*=kZ α1处必须有一个零点。

4．有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。

()n h ()n x ()n y解：频率响应：∑∞∞--=nj j en h eH ωω)()(系统函数：∑∞∞--=nZn h Z H )()(差分方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()(1Z X Z Y Z卷积关系：∑∞∞-*=)()()(n x n h n y第三章 离散傅立叶变换二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==1)()(N k kl MWk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。

解：M π23．某序列DFT 的表达式是∑-==1)()(N k klMWk x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。

解：NMπ24．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。

解：纯实数、偶对称5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z代表的物理意义是（ ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。

解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。

则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。

解：15.625，0.0123rad ，98.4rad/s 判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。

（ ）解：错。

如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。

否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。

计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。

如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

解：∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'==101)(101011)()()()(N n N k n n k NnkN N k N n n k N N k nkNW n x W W n x Wk X n x因为∑-='+⎩⎨⎧=1)(0N k n n k NNW其他Nl n n ='+所以∑-'-=+-=11)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。

现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）()n x n()k X k（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n （2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n （3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 解：（1）()()()01230,2211=+≤≤=k Y k k X k Y（2）()()30,70,2,211112≤≤≤≤==⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k k X k X k Y （3）()()()()4mod ,30,70114113k k k k k X k Xk Y =≤≤≤≤==10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质： )()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。

解： ()⎪⎭⎫⎝⎛=221k X k X 推导过程略 18．⎪⎩⎪⎨⎧=====304,211,02)(n N n n n x 若试计算)(n x 的离散傅里叶变换)(k X 的值)3,2,1,0(=k 。

【解】 ∑-==140)()(k kn NWk x n X所以 50122)()0(0003=+++==∑=N N N k kn NW W W Wk x X(1)X =(2)X = (3)X =简答题：21．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2s f 的频率成分。

22．试说明离散傅里叶变换与Z 变换之间的关系。

解：离散傅立叶变换是Z 变换在单位圆上的等间隔采样。

三、离散傅立叶变换性质10．设[])()(k X n x DFT =，求证[])()(n N Nx k X DFT -=。

【解】因为 nkN n N k NW W =--)( 根据题意 ∑-=-=1)(1)(N k nkNWk X Nn x∑-=--=-1)()()(N k n N k NWk X n N Nx因为 nkN n N k NW W =--)( 所以 [])()()(1k X D F T Wk X n N Nx N k knN==-∑-=-计算题：12．已知)30()1()(),30(1)(≤≤-=≤≤+=n n y n n n x n，用圆周卷积法求)(n x 和)(n y 的线性卷积)(n z 。

解：{}4,3,2,1)(=n x 30≤≤n ，{}1,1,1,1)(--=n y 30≤≤n因为)(n x 的长度为41=N ,)(n y 的长度为42=N所以)()()(n y n x n z *=的长度为7121=-+=N N N ,故应求周期7=N 的圆周卷积)()(n y n x ⊗的值，即)()(~)(~)()()(10n R m n y m x n y n x n z N N m ∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗=∑-=所以{}60,4,1,3,2,2,1,1)()()(≤≤--=*=n n y n x n z13．序列{}3,2,1)(为n a ，序列{}1,2,3)(为n b 。

（1）求线性卷积()()n b n a *（2）若用基2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？解：（1）∑∞-∞=-=*=n m n b m a n b n a n w )()()()()(所以{}3,8,14,8,3)()()(=*=n b n a n w ，40≤≤n（2）若用基2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积运算，因为)(n a 的长度为31=N ；所以()()n b n a *得长度为5121=-+=N N N 。

故FFT 至少应取823=点。

19．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。

如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。

解∑∑∑∑∑-='-='+-=-=''-='=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'==101)(101011)()()()(N n N k n n k NnkN N k N n n k N N k nkNWn x W W n x Wk X n x因为∑-='+⎩⎨⎧=1)(0N k n n k NNW其他Nl n n ='+所以∑-'-=+-=11)())(()()(N n N N n R n Nx Nl n Nx n x21．设)(n x 是一个2N 点序列，具有如下性质)()(n x N n x =+ 10-≤≤N n 另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X 。

求)(n x 得2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。

【答案】⎪⎭⎫⎝⎛=22)(1k X k DFTX 22．已知某信号序列{}2,1,2,3)(=k f ，{}2,4,3,2)(=k h ，试计算 （1）)(k f 和)(k h 的循环卷积和)()(k h k f ⊗； （2）)(k f 和)(k h 的线性卷积和)()(k h k f *； （3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。

【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+=k h k h k h k h k y（2）)6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(-+-+-+-+-+-+=k h k h k h k h k h k h k h k y（3）略23．如图表示一个5点序列)(n x 。

（1）试画出)()(n x n x *（2）试画出)()(5n x n x ⊗01234123()n x解：01234123n()()n x n x *56781421041369圆周卷积呢？？？简答题：24．试述用DFT 计算离散线性卷积的方法。