抽样分布
m1- m2
两个总体均值之差的检验 (s12、 s22 已知)
1. 假定条件
– – – 两个样本是独立的随机样本 两个总体都是正态分布 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和 n230)
2. 检验统计量为
Z
( X 1 - X 2 ) - ( m1 - m 2 )
s
2 1
n1
两个总体均值之差的检验
(例题分析)
•H0: m1- m2 = 0 •H1: m1- m2 0 = 0.05 •n1 = 25，n2 = 30 •临界值(s):
拒绝 H0
.025
检验统计量:
( x1 - x2 ) - ( m1 - m 2 ) 3.71 - 3.46 - 0 z 1.429 2 2 0.46 0.37 s1 s 2 25 30 n1 n2
决策:
在 = 0.05的水平上接受H0
拒绝 H0
.025
结论:
甲、乙两种方法的收率相同， 没有显著差异
-1.96
0
1.96
Z
两个总体均值之差的检验
(s12、 s22 未知且相等,小样本)
1. 检验具有不等方差的两个总体的均值 2. 假定条件
– 两个样本是独立的随机样本 – 两个总体都是正态分布 – 两个总体方差未知且相等s12 s22
内容
一. 检验统计量的确定 二. 两个总体均值之差的检验 三. 检验中的匹配样本
独立样本总体均值之差的检验
两个独立样本之差的抽样分布
总体1
s1
m1
s2 m2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
计算每一对样本 的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
(例题分析)
差值均值
xD
D
i 1
n
i
nD
n
98.5 9.85 10
差值标准差 s D
2 ( D x ) i D i 1
nD - 1
43.525 2.199 10 - 1
配对样本的 t 检验
(例题分析)
•H0: m1 – m2 8.5 •H1: m1 – m2 < 8.5 = 0.05 •df = 10 - 1 = 9 •临界值(s):
– 两个样本是独立的随机样本 – 两个总体都是正态分布 – 两个总体方差未知但不相等s12 s22
3. 检验统计量(n1≠n2,用近似的t检验) ( X 1 - X 2 ) - ( m1 - m 2 ) t 2 S12 S 2 n1 n2
• 当n1=n2=n时，仍可用t检验法，其计算也与两个总体方差 相等的情况一样，只是自由度df=n-1 • 当n1≠n2时，其自由度df计算方式如下：
X D - D0 SD
n
D0：假设的差值
nD
自由度df ＝nD - 1
样本差值均值
XD
样本差值标准差
2 ( D X ) i D i 1 n
Di
i 1
nD
SD
nD - 1
匹配样本的 t 检验
(例题分析)
【例】一个以减肥为主要目标的健美俱乐部声称， 参加其训练班至少可以使减肥者平均体重减重8.5kg 以上。为了验证该宣称是否可信，调查人员随机抽 取了10名参加者，得到他们的体重记录如下表：
拒绝域 .05
检验统计量:
t
x D - D0 sD nD

9.85 - 8.5 2.199 10
1.9413
决策:
在 = 0.05的水平上不拒绝H0
结论:
不能认为该俱乐部的宣称不可信
-1.833
0
t

s
2 2
~ N (0,1)
n2
两个总体均值之差的检验 (假设的形式)
研究的问题
假设
没有差异 有差异
均值1 均值2 均值1 < 均值2
均值1 均值2 均值1 > 均值2
H0 H1
m 1 – m2 = 0 m 1 – m20
m 1 – m2 0 m 1 – m2 < 0
m 1 – m2 0 m 1 – m2 > 0
2 s12 s12 s2 R ( ) /( ) n1 n1 n2
R2 (1 - R) 2 df 1 /( ) n1 - 1 n2 - 1
两个总体均值之差的检验
(例题分析)
【例】用高蛋白和低蛋白两种饲料饲料1月龄大白鼠,在3
个月时,测定两组大白鼠的增重量(g), 两组数据如下： 高蛋白组： 134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123 低蛋白组： 70,118,101,85,107,132,94 试问两种饲料饲养的大白鼠增重量是否有差别？
训练前 训练后 94.5 85 101 110 103.5 96 97 86 88.5 80.5 96.5 87 101 93.5 104 93 116.5 102
89.5 101.5
在 = 0.05的显著性水平下，调查结果是否支持该 俱乐部的声称？
单侧检验
配对样本的 t 检验
(例题分析)
样本差值计算表
决策:
在 = 0.05的水平上接受H0
拒绝 H0
.025
结论:
认为两种饲料饲养的大白鼠增 重量没有显著差别
-1.96
0
1.96
Z
两个总体均值之差的检验
(匹配样本的 t 检验)
1. 检验两个总体的均值
– 配对或匹配 – 重复测量 (前/后)
2. 假定条件
– 两个总体都服从正态分布 – 如果不服从正态分布，可用正态分布来近 似 (n1 30 , n2 30 )
匹配样本的 t 检验 (假设的形式)
研究的问题
假设
没有差异 有差异
总体1 总体2 总体1 < 总体2
总体1 总体2 总体1 > 总体2
H0
mD = 0
mD 0
mD 0
H1
mD 0
mD< 0
mD > 0
注：Di = X1i - X2i ，对第 i 对观察值
匹配样本的 t 检验
(数据形式)
训练前 94.5 101 110 103.5 97 88.5 96.5 101 104 116.5 训练后 85 89.5 101.5 96 86 80.5 87 93.5 93 102 差值Di 9.5 11.5 8.5 7.5 11 8 9.5 7.5 11 14.5
合计
—
98.5
配对样本的 t 检验
两个总体均值之差的检验
(该题由后面的F检验可以得出两总体方差相等)
•H0: m1- m2 = 0 •H1: m1- m2 ≠ 0 = 0.05 •n1 = 12，n2 = 7 •临界值(s):
拒绝 H0
.025
检验统计量：
120.17 - 101.00 t 1.916 1 1 21.04 * 12 7
两个总体均值之差的检验
(例题分析)
【例】现用甲、乙两种发酵法生产青霉素，其产品收 • 2 2 2 2
率的方差分别为 s 1 =0.46(g/L) ,s 2 =0.37(g/L) 。现甲 x1=3.71g/L;乙方法测得30个数据 方法测得 25个数据， x 2 =3.46g/L。问甲、乙两种方法的收率是否相同？( ， = 0.05)
观察序号 样本1 样本2 差值
1
x 11
x 21
D1 = x 11 - x 21
2 M
i M n
x 12
M x 1i
x 22
M x 2i
D1 = x 12 - x 22
M D1 = x 1i - x 2i

M
x 1n
M
x 2n
M
D1 = x 1n- x 2n
匹配样本的 t 检验
(检验统计量)
统计量
t
3. 检验统计量
t ( X 1 - X 2 ) - ( m1 - m 2 ) Sp 1 1 n1 n2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 2 1 1 2 2 S 其中： p n1 n2 - 2
两个总体均值之差的检验
(s12、 s22 未知但不相等,小样本)
1. 检验具有等方差的两个总体的均值 2. 假定条件