第2章 离散时间信号和系统分析基础
第2章 时域离散信号和时域离散系统
2.1 引言 2.2 连续时间信号的取样及取样定理 2.3 离散时间信号的表示及运算规则 2.4 离散时间线性非时变系统与差分方程 2.5 离散时间信号和系统的频域分析
第2章 离散时间信号和系统分析基础
2.1 引言
数字信号处理系统的分析方法是先对取样信号及系 统进行分析，然后再对幅度上量化及实现过程中有限 字长所造成的影响进行考虑，因此，离散时间信号和 系统理论是数字信号处理的理论基础。
[

xa (nT ) ( nT )]h(t )d
n



xa (nT ) ( nT )h(t )d
n

xa (nT )h(t nT ) n
h(t nt) sin( (t nT ) / T ) (t nT ) / T
（3）若信号的最高频
率
c

s 2
，
s 为折叠频率 2
则延拓分量产生频谱混叠
（d）
－ Ωs
0 Ω cΩ s
s 2
Ω
结论：时域的取样，形成频域的 周期函数。
奈奎斯特抽样定理
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要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频 率必须大于两倍信号谱的最高频率:
s 2c 即fs 2 fc
H ( j)
图4 采样恢复
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五、取样内插公式
下 面 由 (2-10) 式 表 示 的 低 通 滤 波 器 的 传 输 函 数 H(jΩ)推导其单位冲激响应h(t)：
h(t) 1 H ( j)e jtd
2
1 s / 2 Te jt d
2 s / 2
sin(st / 2) st / 2
因为Ωs=2πfs=2π/T，因此h(t)也可以用下式表示：
h(t) sin( t / T ) (2-13) t /T
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根据卷积公式可求得理想取样信号通过低通滤波器的输
出为：

ya (t)
本章作为全书的基础，主要学习一维离散时间信号 的表示方法、线性时不变系统的因果性和稳定性，以 及离散时间系统的时域和频域分析方法。
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2.2 连续时间信号的取样及取样定理
在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟 信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟 信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字 信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转 换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理 方法。其原理框图如图1所示。本节主要介绍采样定理 和采样恢复。
1. 单位采样序列

(n)

1
n0
0 n 0
单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是
仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号
和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，
取值无穷大，t≠0时取值为零，对时间t的积分为1。单
位采样序列和单位冲激信号如图所示。
数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为
ω=ΩT
(2-18)
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5. 实指数序列
x(n)=anu(n)，
a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n) 为收敛序列；如|a|>1，则称为发散序列。其波形如图所 示。
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6. 复指数序列 x(n)=e(σ+jω0)n
p (t) (t nT ) n
(2-2)


xa (t) xa (t) p (t) xa (t) (t nT ) (2-3)
n
上 式 中 δ(t) 是 单 位 冲 激 信 号 ， 在 上 式 中 只 有 当
t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：


xa (t)
xa (nT ) (t nT )
(2-4)
n
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二、取样定理 对连续时间信号取样所得的离散时间信号能否代
表并恢复成原始信号？如能恢复，应具备那些条件？
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我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅 里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照 (2-4)式，推导如下：
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六、序列的能量 序列的能量定义为序列各取样值的平方和，即

x(n) 2 n

x(n) x(m) (n m)
m
(2-19)
式中
δ(n-m)=
1, n=m 0，n≠m
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这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很 有用的公式。例如：x(n)的波形如图所示，可以用(2-19)式 表示成：
x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
m
1
T m

xa
(t
)e
j
( m s
)t
dt
Q X a ( j)

xa
பைடு நூலகம்
(t
)e

jt
dt

1 T
m
Xa[
j(

ms )]
(2-9)
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Xˆ a
(
j)

1 T
m
X
a[
j(
们是乘法、加减法、移位、翻转及尺度变换。 1.乘法和加减法 序列之间的乘法和加减法，是指它的同序号的
序列值逐项对应相乘和相加减。
xgy x(n) y(n) w(n)
x y x(n) y(n) w(n)
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2. 序列的标乘 序列的标乘表示序列x的每个取样值同乘以数A，
跃函数u(t)。δ(n)与u(n)之间的关系如下式所示：
u(n) 1
012 3
δ(n)=u(n)-u(n-1)

…
n u(n) (n k)
k 0
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3. 矩形序列RN(n)
1, 0≤n≤N-1 RN(n)= 0， 其它n
上 式 中 N称 为矩形 序 列的长 度 。 当 N=4 时， R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位阶跃序列 表示，如下式：
1
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（a） （b） （c）
Ω － Ωc 0 Ω c
P (jΩ )
δ
1/T
Ω
－ Ωs
0
Ωs
＾Xa(jΩ )
1/T
Ω
－ Ωs s 2 0 s 2 Ω s ＾Xa(jΩ )
（1）采样信号的频谱是原模 拟信号的频谱以Ωs为周期， 进行周期性延拓而成的。
（2）频谱幅度是原信号频谱 幅度的1/T倍。
这里n取整数。
n
为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，称为序 列。
需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n)=xa(nT)，
-∞＜n＜∞
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二、 序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它
一般取：
s (2.5 ~ 3)c
s 2c
理想取样信号
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三、折叠频率与奈奎斯特频率 折叠频率的定义：系统所能通过的信号频谱分 量中的最高频率
0 s 2
奈奎斯特频率的定义：信号中最高频率 c
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四、信号的恢复
H ( j)
T /2 n
T
T /2 (t)e jmst dt 1
T /2
T
p
(t)

1 T
m
e
jmst
(2-5)

Xa ( j)

xˆa
(t)e
jt dt


xa
(t
)
p
(t
)e
jt
dt
1
T

xa (t)

e jmst e jt dt
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xa(t)
预滤
A/ DC
数字信号处理
D/ AC
平滑滤波
ya(t)
图1 模拟信号数字处理框图
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一、 信号的取样
对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过 一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次， 每次合上的时间为τ<<T，在电子开关输出端得到其
(2-14)
内插公式
y(t)

n
xa
(nT
)
sin( (t nT ) / T (t nT ) / T
)

xa (t)
(2-15)
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2-3 离散时间信号的表示及运算规则
一、序列的表示法：
对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到
xa (t) tnT xa (nT ),
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