R B1亍 100Bd10等概时的平均信息速率为R b（2）平均信息量为1H log 24 R B log 2 MR B log 2 4200 b s沁4討罟 誣詈1.977比特符号R , R B H 100 1.977197.7 b s习题1.4试冋上题中的码兀速率是多少?1 1解：R B3 200 BdT B 5*10 3习题1.5设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均 为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号, 试求该信息源的平均信息速率。

解：该信息源的熵为第一章习题习题1.1在英文字母中E 出现的概率最大，等于0.105,试求其信息量log 2 P E log 2 0.105 3.25 b习题1.3某信息源由A ，B ，C ，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组 00, 01，10，11表示。

若每个二进制码元用宽度为 5ms 的脉冲传输，试分别求出在 下列条件下的平均信息速率。

（1）这四个符号等概率出现；（2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。

解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时 间为2>5mso 传送字母的符号速率为E 的信息量：I E 习题1.2某信息源由现的概率分别为1/4，1/4, 解：A ，B ，C ，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出3/16, 5/16 试求该信息源中每个符号的信息量。

I AlOg 2-P(A) 3log 2 2.415b16lOg 2 P(A)log 21 2b35lOg21362.415bI Dlog21s1.678bM 6411H (X)P(X i )log 2 P(X i )Pg )log 2 P(X i )16* — log ? 32 48* — log 2 96i 1i 132 96=5.79比特/符号因此，该信息源的平均信息速率& mH 1000*5.795790 b/s 。

习题1.6设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为 125 us 。

试求码元速率和信息速率。

1 1解：R B6 8000 BdT B125*10 6等概时，R b R B log 2 M 8000* log 2 4 16kb/s习题1.7设一台接收机输入电路的等效电阻为 600欧姆，输入电路的带宽为6MHZ ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。

解：V 4kTRB .4*1.38*10 23 *23*600*6*10 64.57*10 12 V习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等 于80 m ，试求其最远的通信距离。

解：由 D 2 8rh ，得 D 8rh .8*6.37*10 6 *8063849 km习题1.9 设英文字母E 出现的概率为0.105， x 出现的概率为0.002。

试求E 和x 的信息量。

解：p(E) 0.105 p(x) 0.002习题1.10信息源的符号集由 A ，B ，C ，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出 现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。

试求该信息源符号的平均信息量。

解：习题1.11设有四个消息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2传送，每一消 息的出现是相互独立的。

试计算其平均信息量I(E) log 2 P E log 2 0.105 3.25 bit I(x) log 2P(x)log 2 0.002 8.97 bitHp(x 」log 2 P (xJ1 , 1 1 1 , 1 4logq 8log28 log2s佥砸拓2.23bit/符号1 1 3P B — Pc — P D —（2）若每个字母出现的概率为 4, 4, 10, 试计算传输的平均信息速率。

解：首先计算平均信息量。

（1）HP （X i ）log 2 P （X i ） 4*（寸）*砸 2寸 2 bit/字母平均信息速率=2（ bit/字母）/（2*5m s/字母）=200bit/s(2)1.1 1 | 1 1 | 1 3 | 3 P (X i )log 2 P (X i )log 2 log 2 log 2 log 2 —55 44 44 1010平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/ 字母)=198.5bit/s习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，戈加持续 3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的 1/3。

（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。

解：令点出现的概率为P A ）,划出现的频率为P（B ）(1)R A ) + R B ) =1,1PA )P (B)R A )3 4p B)1 41(A) log 2 p(A) 0.415bitI(B)log 2 p(B)2bit(2)HP(X i )log 2 P(X i )沁1 . 1log 2-4 40.811bit /符号习题1.14设一信息源的输出由128个不同符号组成。

其中16个出现的概率为 1/32,其余112个出现的概率为1/224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼 此独立。

试计算该信息源的平均信息速率。

解:1 1 P （X i ）log2 p （xj - log 2 - 4 4 习题1.12 一个由字母A ，B ，C , D 脉冲编码，（1）1. 1 -log 2 - 88 组成的字代替C , 00代替A ，01代替B ，10 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。

-log 2^ 1log 2 —1.75bit/ 符号8 8 2 2对于传输的每一个字母用二进制11代替D 。

每个脉冲宽度为5ms 。

1.985 bit/ 字母平均信息速率为6.4*1°°°=64°°bit/s习题1.15对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率R B等于多少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率 Rb 等于多少？解：R B 300B R. 300bit /s习题1.16若题1.12中信息源以1000B 速率传送信息，贝M 专送1小时的信息量 为多少？传送1小时可能达到的最大信息量为多少？解：传送1小时的信息量2.23*1000*3600 8.028Mbit传送1小时可能达到的最大信息量 则传送1小时可能达到的最大信息量2.32*1000*3600 8.352Mbit习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms ,求R B和& ;有四进信号小结：记住各个量的单位： 信息量：bit1 lOg 2P （X ）信源符号的平均信息量（熵）:bit/符号 平均信息速率：bit/s （bit/符号）/ （s/符号） 传码率：R B（B ）传信率：Rbbit/s解：Hp( X i ) log 2 p(X i )16*(丄)32112*( 1224)log21 2246.4bit / 符号先求出最大的熵:1Hmax log 252.32bit/符号码元宽度为0.5ms,求传码率R B ——1―32000B, R b 2000bit /s解: 二进独立等概信号：0.5*10四进独立等概信号:R B1 30.5*102000B,% 4000bit /s。

p(X i )log 2 P(x)R B和独立等概时的传信率Rb2*2000第二章习题习题2.1设随机过程X(t)可以表示成：X(t) 2cos(2 t ),t式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布: 试求 E[X(t)]和 R X (0,1)。

解：E[X(t)]=P( =0)2cos(2 t)+P( =/2)2cos(2 t - )=cos(2 t) sin2 t 2 cos t习题2.2设一个随机过程X(t)可以表示成：X(t) 2cos(2 t ),t判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

1 T /2R X ( ) lim T TT/2X(t)X(t )dt1 T /2lim T 〒 T /22COS (2 t )*2cos 2 (t ) dt j2 tj2 t2cos(2 ) e je jj2 f「z j 2 t j2 t、 j2 f .P( f)R X ( )e j d(e j e j )e j d(f 1) (f 1)习题2.3设有一信号可表示为:试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：它是能量信号。

X(t)的傅立叶变换为:习题2.4 X(t)= X i cos2 t X 2Si n2 t ，它是一个随机过程，其中X i 和x ?是相互统 计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。

试求：(1) E[X(t)]，E[X 2(t)] ； (2)X(t)的概率分布密度；(3)R x (t i ,t 2) 解：⑴ E X t E x i cos2 t x 2 sin 2 t cos2 t E x i sin 2 t E x 2P X ( f)因为X i 和X 2相互独立，所以E X 1X 2E x i E X 2 。

P( =0)=0.5，P( = /2)=0.5X(t){4exp( t) ,t {0, t<0X()x(t)e j t dt 0 4e t e j tdt 4e (1j)t dt 」1 j则能量谱密度G(f)=16 1 4 2i 布，其概率分布函数p X —V2E X t i X t 2 E (X -I cos 2 t i X 2 sin 2 t i ) X -I cos 2 t 22cos2 t i cos2 t 2 sin2 t i sin2 t 2 2cos 2 t 2 t i习题2.5试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： 2 2(1) f cos 2 f ；⑵ a f a ；(3)exp a f解：根据功率谱密度P ⑴的性质：①P(f) 0,非负性；②P(-f)=P(f)，偶函数 可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题2.6试求X(t)=Acos t 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率 解：R(t ，t+ )=E[X(t)X(t+ )] = E Acos t*Acos( t )习题2.7设X i t 和X 2 t 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别 为R x i和R X 2。

试求其乘积X(t)=X i (t)X 2(t)的自相关函数。