第一章 晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

解：我们知体心立方格子的基矢为：()()()123222a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω2a a a a =⋅⨯=23222222222222222222ij kaa a a a a a a a a a ij k a a a a a a a a a --⨯=-=++--- 2222a a j k =+ ()()()223132π2π2πΩ22a b a a j k j k a a =⨯=+=+同理()()232π2π,b i k b i j a a=+=+ ()()()1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

我们知面心立方格子的基矢为()()()123222a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω4a a a a =⋅⨯=2300222202200222222ij ka a a a aa a a i jka aa a a a ⨯==++-222444a a a i j k =-++()()222223132π2π2πΩ24444a a a ab a a i j k i j k a a ⎛⎫=⨯=-++=-++ ⎪⎝⎭同理 ()()232π2π,b i j k b i j k a a=-+=+-()()()1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为312,,a a a h k i，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为cl。

证明：()i h k =-+并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.证明：林鸿生1.1.4 王矜奉1.2.3如图所示，某一晶面MN 与六角形平面基矢123,,a a a 轴上的截距,,,a a a OA n OB n OC n h k i==-= 且60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠= 有()C ()()AOB OB AOC +=面积面积面积 即111sin sin sin 222OA OB AOB OC OB COB OA OC AOC ∙∠+∙∠=∙∠ 代入,,,a a aOA n OB n OC n h k i==-=和60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠=，有000111()sin 60()sin 60()sin120222a a a a a an n n h k i k h i-+-= 得111hk ik hi--=，两边同乘（hki ）并移项得()i h k =-+得证（2）由上可知，h ，k ，i 不是独立的，()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.中各i 等于 111()(00)0,i h k =-+=-+=22i =，30i =，41i =，51i =61i =，73i =即得()()()()()()()()0010001,1331323,1101100,3233213→→→→ ()()()()()()1001010,0100110,2132133.→→→1.3如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为： （1）简单立方6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π解：设N 为一个晶胞中的刚性原子数，R 表示刚性原子的球半径，V 表示晶胞体积，立方晶格的边长为a ，则致密度为：343N R Vπα⋅=（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333πππα=⋅=⋅=R R a R（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333πππα=⋅=⋅=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333πππα=⋅=⋅=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323πππα=⋅⋅=⋅⋅=RR R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333πππα=⋅=⋅=RR a R1.4设某一晶面族的面间距为d ，三个基矢123,,a a a的末端分别落在离原点距离为123,,,h d h d h d 的晶面上，试用反证法证明：123,,h h h 是互质的。

解：参考王矜奉1.2.4设该晶面的单位法向矢量为n ，由已知条件可得112233,,,a n h d a nh d a n h d ⋅=⋅⋅=假定123,,h h h 不是互质的数，则有公约数p ，且p>1；设123,,k k k 为互质的三个数，满足312123h h h p k k k === 则有112233,,,a n k pd a nk pd a n k pd ⋅=⋅⋅=今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为112233r l a l a l a =++由于123,,l l l 必定为整数而且112233r n d l a n l a n l a n ⋅==⋅+⋅+⋅得112233d l k pd l k pd l k pd =++即1122331l k l k l k p++=因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。

要式成立，必须满足p=1。

而此时123,,h h h 是互质的。

1.5证明：在立方晶系中，面指数为()111h k l 和()223h k l 的两个晶面之间的夹角满足()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lθ++=++++解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数a ，则晶胞基矢为123,,,a ai a a j a ak ===其倒格子基矢为123222,,b i b i b i a a aπππ=== 倒格子矢量为1232()h K hb kb lb hi k j lk aπ'=++=++代表晶面族()hkl 的法线方向。

晶面族()111h k l 的法线方向对应倒格矢11112()K h i k j l k a π=++ 晶面族()223h k l 的法线方向对应倒格矢22222()K h i k j l k aπ=++设两法线之间的夹角满足1212cos K K K K γ=111222121211122222222()()cos 2222)()()()h i k j l k h i k j l k K K a a K K h i k j l k h i k j l k h i k j l k h i k j l k a a aππγππππ++++==++++++++()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lγ++=++++1.6有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以nm 为单位）分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。

试求：（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ （3） 该晶体的倒格子基矢；（4） 密勒指数为（121 （5） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （6） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：参考徐至中1-5，中南大学1.17（1）按基矢123,,a a a 在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此晶体中原子位置可以认为与格点重合。

由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。

（2）原胞体积()()27312333 1.513.510a a a i j i j k m -⎡⎤Ω=∙⨯=∙⨯++=⨯⎣⎦晶胞体积()()2733332710V a a a i j k m -=∙⨯=∙⨯=⨯因为2VΩ=，知该晶体属于立方晶系； 参考王矜奉1.2.6我们可以构造新的矢量13()2a c a i j k =-=-++1a a a23()2a c b i j k =-=-+33()2a abc i j k =+-=+-123,,a a a 对应体心立方结构. 123,,a a a 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++= ,的晶体为体心立方结构.（3）由倒格子基矢的定义可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=kk a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321πππππππππ （4）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121122122b b b K -+⋅==ππd103030352(322==-+=k j i ππ以上是参考中南大学的，有些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然《固体物理学》式（1-18）也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。