面 积 微 元
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”
微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x
为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
与 x 轴和曲线 y f ( x) 围成的面积是另一条平 行线与y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两 倍，请求曲列线出方f(程x)所. 满足的关系式
y O
x
y x4
-2 A
选 x为积分变量 x [0,2 ] [2,8]
2
8
A 0 [ 2x ( 2x )]dx 2 [ 2x ( x 4)]dx 18.
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA
y4
y2 2
dy
y+dy
y x4
第五章 定积分及其应用
§6 定积分在几何上的应用
§5.6 定积分在几何上的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 计算了.
一、定积分应用的微元法
问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0) 、
A
x 轴与两条直线x a 、
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi .
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi

b f ( x)dx
a
对以上过程进行简化:
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
a
a
曲边梯形的面积 A t2 (t) (t)dt. t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t )具有连续导数， y (t)连续. （相当于定积分的换元）
例5
求椭圆 x 2 a2

y2 b2

1的面积.
解
椭圆的参数方程
公式法 3.求出定积分的值.
例2
求由曲线y sin x与直线x , x
36
及x轴围成的平面图形的面积.

解
由公式得：A
6
sin x dx
0
3

sin x dx 6 sin x dx

0
3
y y=sinx

3
o x
6
0

可直接从几何
sin xdx 6 sin xdx

0
意义上得到
3

cos
x
0
3

( cos x) 6 0

3 2
3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选x 吗？
例 3 计算由曲线y2 2x 和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
y
解 两曲线的交点
y+dy4
B
y2 2x
(2,2), (8,4).
a2

(1 2cos cos2 )d
0

a
2

3 2


2 sin

1 sin 2
4
0

3 2
a2 .
总结
★微元法
★求在直角坐标系下、参数方程形 式下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于 简化积分运算）
y
y
y x
yx 1
A 0 ( x x)dx
2 1
[(1

y2 )
5 y 2 ]dy
2
x 1 y2

2
1
2 [(1
0
y 2 ) 5 y 2 ]dy
[y
4 3
1
y 3 ]02

2 3
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y


(t) (t)
b
b
由 A f ( x) dx y dx 知
一象限部分面积
y x
A 4A1

A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 7 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
2）设想把区间[a, b]分成 n个小区间，取其中任一小
区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的部分
量 F 的近似值.如果F 能近似地表示为[a, b]上的一
个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把
f ( x)dx称为量 F 的微元且记作dF ，即
dF f ( x)dx ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 F
二、用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x x b x
oa
y f1( x)
x
x b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A

b
a
f
(
x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
上曲线 下曲线
x b所围成。
oa
bx
b
A a f ( x)dx
面积表示为定积分的步骤Байду номын сангаас下
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，i第
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f (i )xi i xi
4
A dA 2
y
4
y2
y2 2x
( y 4 )dy 18.
2
2
说明:合理选择积分变量会使计算简单.
一般地:
y d y+dy y
c
o
x ( y)
x
y d
y+dy y
c o
x 2( y)
x 1( y)
x
d
A c ( y)dy
d
c xdy
d
A c [1 ( y) 2 ( y)]dy
右曲线 左曲线
例4 求抛物线x 5 y2和x 1 y2所围成的
平面图形的面积.
y
解 如图求得交点为
B1
(
5 4
,
1 2
)和B2
(
5 4
,
1 2
)
取y为积分变量
y
[
1 2
,
1] 2
1
x 5y2
B1
oA
B2
x
s
图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积微元 dA ( x x2 )dx
A

1
0 (
x

x2 )dx

2 3
3
x2

x3 3
1 0

1. 3
x
可直接由公式得到
x+dx
求面积的一般步骤：
1.作图求交点. 微元法 2.用定积分表示面积.
o
x
ye
e
A ln ydy
y ex
1
o
x
y y 2x 3
y
y1
y x2
o
x
A 3 (2x 3 x2 )dx 1
y 2x2 y x2
o
x1
y
A 0 (
y
)dy 2
思考题
设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线

r ( )
d
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
曲边扇形的面积为:
o

x
A 1[ ( )]2d . 2
圆扇形的面积为A 1 r 2
2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
f ( x)在[a, b]上有正有负.
1. f ( x)＞0时 dA f ( x)dx 2. f ( x)＜0时
y
y f (x)
x oax
dA f ( x) dx
x+dx
总之 dA f ( x) dx
b
b
A a f ( x) dx a y dx
x+dx bx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
b
(3)F a f ( x)dx
两边积分
说明：当所求量 F 符合下列条件
（1）F 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关