有限元法的应用现状研究3于亚婷,杜平安,王振伟(电子科技大学机械电子工程学院,四川成都　610054)摘要:有限元法(FEM:Finite Element Method)作为一种最有效的数值方法,在工程实际中得到了广泛、深入的应用。

以应用为主线,首先回顾了FEM的发展历程,然后从FEM的应用过程和应用领域两个方面详细地论述了FEM应用的有关问题,并例举了相关的应用实例。

最后总结了FEM的国内外应用现状及研究热点问题。

关键词:有限元法;应用过程;应用领域;现状中图分类号:TP391.7 文献标识码:A 文章编号:1001-2354(2005)03-0006-041　F EM的发展历程FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法,已经历了50余年的发展。

20世纪50年代,它作为处理固体力学问题的方法出现。

1943年,Courant第一次提出单元概念[1]。

1945～1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展[1]。

1956年,Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题[1]。

1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”[1],并描绘为“有限元法= Rayleigh Ritz法+分片函数”。

几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。

FEM理论研究的重大进展,引起了数学界的高度重视。

自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。

如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。

FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。

20世纪70年代以来,相继出现了一些通用的有限元分析(FEA:Finite Element Analysis)系统,如SA P、ASKA、NASTRAN等,这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。

20世纪80年代以来,随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行,同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、N ISA,SU PER SA P等[3]。

20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高,大批FEA系统纷纷向微机移植,出现了基于Windows的微机版FEA系统。

经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题;从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域;从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。

它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的方法之一。

2　F EM应用的有关问题2.1　FEM的应用过程FEM应用于实际问题须经历以下过程,如图1所示。

图1　FEM的应用过程(1)问题的数学描述。

对问题客观规律的数学描述(通常是微分方程及边界条件)是建立有限元方程的前提。

单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学模型建立的。

常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现象的数学描述。

(2)有限元方程的建立。

利用变分原理,通过离散、单元分析、整体分析等过程,建立数学模型的有限元方程,它通常是一组易于用数值方法求解的代数方程。

(3)算法研究。

有限元方程的计算量庞大,须有有效的算法来保证计算效率和精度,同时考虑对计算条件的要求。

如求解大型线性方程组的带宽法、波前法,求解大型特征值问题的分块Lanczos法等。

第22卷第3期2005年3月机　械　设　计J OU RNAL OF MACHIN E DESIGNVol.22　No.3Mar. 20053收稿日期:2004-07-22;修订日期:2004-09-02基金项目:四川省学术与技术带头人培养基金资助项目(2200104)作者简介:于亚婷(1979-),女,陕西人,电子科技大学博士研究生,研究方向:CAD/CAM/CA E有限元法应用等。

(4)程序开发。

数值计算依赖于计算机,因此求解算法需用相应的计算程序来实现。

(5)有限元建模。

对应于FEA 系统的前处理(Pre -pro 2cessing )。

它为数值计算提供所有原始输入数据(节点数据、单元数据和边界条件数据)。

因为模型形式直接决定计算精度和规模,且建模所需时间约占整个FEA 的70%左右,所以建模质量和效率是FEA 的关键。

图2列出了有限元建模中的关键技术。

图2　有限元建模的关键技术(6)数值计算。

对应于FEA 系统的计算(Solving )。

它由一系列计算程序组成,计算程序又称求解器(solver )。

每个求解器完成特定类型的计算因此求解器越多,系统功能越强。

(7)结果处理。

对应于FEA 系统的后处理(Post -pro 2cessing )。

它对计算结果进行处理、显示、运算和列表等。

若按照(1)～(7)过程,问题得以解决,则FEM 应用结束;反之,则需根据求解结果提出改进方案,循环执行(5)～(7)过程,直至问题解决或得到最佳设计。

对于一个全新的问题,必须从第一步开始。

而对已知的问题,可从第(5)步开始,即直接利用已有的FEA 系统,建立有限元模型。

在实际应用中,绝大多数问题都属于第二类问题。

2.2　FEM 的应用领域FEM 最早应用于固体力学领域,但由于其解决问题的有效性和实用性,很快推广应用于温度场、电磁场、流场、声场等连续介质领域。

目前FEM 的应用领域主要包括:2.2.1　静力分析包括线性非线性静力分析。

线性静力分析研究线弹性结构的变形和应力,它是工程结构分析和设计中最基本的方法。

非线性结构静力分析主要研究外载作用下引起的非线性响应,其中非线性来源主要是材料非线性、几何非线性和边界条件非线性3大类。

2.2.2　动力分析主要包括以下分析类型:(1)模态分析。

用于求解多自由度系统的模态参数。

图3为计算得到的计算机主板的前三阶振型[4]。

(2)瞬态响应分析。

求解在时域内结构承受随时间变化的载荷和速度作用时的动力响应。

(3)简谐响应分析。

对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。

(4)频谱响应分析和随机振动分析。

用于分析结构受已知频率激励时的最大响应。

(5)屈曲和失稳分析。

分析考察结构的极限承载能力,研究结构总体或局部的稳定性,获得结构失稳形态和失稳路径。

(6)自动接触分析。

用于接触边界定义和摩擦分析。

(a )第一阶振型 (b )第二阶振型 (c )第三阶振型图3　计算机主板前三阶模态振型2.2.3　失效和破坏分析包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。

图4是对电视机进行的跌落分析[5]。

图4　电视机跌落分析2.2.4　热传导分析包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流及温度的耦合分析。

图5是一个铸造过程中的热传导分析,目的是追踪固化过程中铸件和模具的温度分布。

图5　固化过程中铸件和模具的温度分布图2.2.5　电磁场分析它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、能量损失等物理量进行分析。

图6为E 型电机的磁场分布和吸力特性图。

(a )磁场分布图 (b )吸力特性图图6　E 型电机电磁场分析2.2.6　声场分析它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题,或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。

2.2.7　流体分析研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流体中运动物体所受阻力及其它热力学性质。

图7是离心泵叶轮叶片表面相对速度和压力变化曲线。

(a )相对速度变化曲线 (b )压力变化曲线图7　离心泵叶片流场分析72005年3月于亚婷,等:有限元法的应用现状研究2.2.8　耦合场分析考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和相互影响(耦合)。

图8是双压电晶片梁在结构场和电场共同作用下的变形。

图8　双压电晶片梁的压电分析3　F EM 发展现状和研究热点3.1　FEM 发展现状随着FEM 研究的深入,过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题,都得到了新的解决方案。

传统的FEM 假设:分析域是无限的;材料是同质的,甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。

但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。

为解决这类问题,美国的heofanis Strouboulis &Lin Zhang 等人提出用GFEM (G eneralized Finite Element Meth 2od )解决分析域内含有大量孔洞特征的问题[6];比利时的Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM (the Hybrid metis Singular element of Membrane plate )解决实际开裂问题(结构尺寸有限,形状任意,边界条件复杂,材料特性任意)[7]。

传统的有限元断裂力学技术(the finite element f racture mechanics techniques )在解决零件中出现裂缝这类问题时,需要在曲线型裂纹前缘附近的区域细分网格。

这样无论是从网格生成的角度看还是从求解的角度看,都需要花费大量的时间。

而且在循环加载的情况下产生的次裂纹将会使分析变得更加复杂。

为此,美国的Daniel S Pipkinsay &Satya N Atlurib 提出了FEAM (Finite Element Alternating Method )。

该方法在求解应力集中因子时,可在不牺牲精度的情况下节省时间,用它分析具有椭圆裂纹或部分椭圆裂纹的结构是很有用的[8]。

此外,西班牙的Onate E 和波兰的Rojek J 将DEM (Dis 2crete Element Method )和FEM 结合解决地质力学中的动态分析问题[9];瑞典的Birgersson F 和英国的Finnveden S 针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM (Spectral Finite Element Method )[10]。

在FEM 应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,FEM 也从分析比较向优化设计方向发展[11]。

印度Mahanty 博士用ANSYS 对拖拉机前桥进行优化设计,结果不但降低了约40%的前桥自重,还避免了在制造过程中的大量焊接工艺,降低了生产成本[12]。

FEM 在国内的应用也十分广泛。

20世纪80年代我国大连理工大学工程力学研究所开发成功了国内第一个通用有限元程序系统J IGFEX ,并在1983年开发出了它的微机版J IG 2FEX -W[13]。

目前,FEM 已渗透到工程分析的各个领域,从大型的三峡工程[14]到微米级器件[15]都采用FEM 进行分析。