《时间序列分析》案例案例名称：时间序列分析在经济预测中应用内容要求：确定性与随机性时间序列之比较设计作者：许启发，王艳明设计时间：2003年8月案例四：时间序列分析在经济预测中应用一、案例简介为了配合《统计学》课程时间序列分析部分课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年国内生产总值作出预测并检验其预测效果。

国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动最终成果，是反映国民经济活动最重要经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套方针政策具有重要理论与实际意义。

在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例教学目与要求，明确案例所涉及教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同方法进行预测分析，并确定具体讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好教学效果。

经济预测是研究客观经济过程未来一定时期发展变化趋势，其目在于通过对客观经济现象历史规律探讨和现状研究，求得对未来经济活动了解，以确定社会经济活动发展水平，为决策提供依据。

时间序列分析预测法，首先将预测目标历史数据按照时间先后顺序排列，然后分析它随时间变化趋势及自身统计规律，外推得到预测目标未来取值。

它与回归分析预测法最大区别在于：该方法可以根据单个变量取值对其自身变动进行预测，无须添加任何辅助信息。

本案例最大特色在于：它汇集了统计学原理中时间序列分析这一章节所有知识点，通过本案例教学，可以把不同时间序列分析方法进行综合比较，便于学生更好地掌握本章内容。

二、案例目与要求（一）教学目1．通过本案例教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用必要性和可能性；2．本案例将时间序列分析中水平指标、速度指标、长期趋势测定等内容有机结合在一起，以巩固学生所学课本知识，深化学生对课本知识理解；3．本案例是对烟台市国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果比较和分析，使学生认识到对同一问题解决，可以采取不同方法，根据约束条件，从中选择一种合适预测方法；4．通过本案例教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步了解；5．通过本案例教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题能力、合作共事能力和沟通交流能力。

（二）教学要求1．学生必须具备相应时间序列分析基本理论知识；2．学生必须熟悉相应预测方法和具备一定数据处理能力；3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中问题；4．在提出解决问题方案之前，学生可以根据提供样本数据，自己选择不同统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法异同，提出若干可供选择方案；5．学生必须提交完整分析报告。

分析报告内容应包括：选题目及意义、使用数据特征及其说明、采用预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进思路或需要进一步研究问题。

三、数据搜集与处理时间序列数据按照不同分类标准可以划分为不同类型，最常见有：年度数据、季度数据、月度数据。

本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。

考虑到案例设计时侧重点，本案例只是对烟台市国内生产总值进行预测，故数据搜集与处理过程相对简单。

我们通过查阅《烟台统计年鉴》、《烟台五十年》等有关资料获得烟台市1949—2000年共52年国内生产总值资料数据（原始数据详见表3）。

该指标是反映国民经济发展情况最重要指标之一，我们选择该指标进行预测具有较强实用价值。

此外，预测方法具有普遍适用性，使用者也可以将其应用于其它研究领域。

资料数据是预测依据和基础，一般是根据确定预测目标及影响因素搜集有关资料和数据，并结合初步拟定预测模型，对所搜集数据进行分析和处理，然后再选取适当预测模型。

我们可以将整个数据处理过程概括如下，见图1。

图1 经济预测流程图四、建议使用预测分析方法（一）确定性时间序列分析法1．指标法：平均增长量法、平均发展速度法；2．趋势预测法：移动平均法、指数平滑法、曲线拟合法。

（二）随机性时间序列分析法1．ARIMA 模型预测； 2．组合模型预测。

五、案例分析过程（一）确定性时间序列分析法1．平均增长量法该方法是利用历史资料计算出它平均增长量，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均增长量去增长，从而得出在未来一段时期内预测值。

根据烟台市国内生产总值1949年—1998年观察值，我们计算出GDP 平均增长量为150647.69万元（水平法）和38437.81万元（总和法），利用其对烟台市1999年和2000年GDP 值进行预测并与实际GDP 值[1]比较，结果见表1。

表1 平均增长量法预测结果教师点评：①平均增长量法不仅得到了烟台市1999年、2000年GDP 数据预测值，而且还让学生认识到平均增长量预测法中水平法与总和法区别所在，图1较明显地反映出平均增长量水平法与累计法计算区别，即水平法仅考虑首尾年份数值，而不考虑中间年份数值变化，因而有n a n a =∆-+)1(0；②而总和法则考虑了整个样本区间上总体变化情况，有∑=∆+++∆++∆+ni a n a a a 000)()2()(Λ，图2中A 面积和B 面积应该相等。

2．平均发展速度法该方法就是利用时间序列资料计算出它平均发展速度，然后再假定在以后各期当中，它仍按这样一个平均发展速度去变化，从而得出时间序列预测值。

我们计算出GDP 在1949年—1998年间平均发展速度为113.036%（几何法）和112.248%（方程法）[2]，利用其对烟台市1999年和2000年GDP 进行预测得到结果见表2。

[1] 1999年为8006600万元，2000年为8795900万元。

[2] 在该问题中几何法与方程法计算出平均发展速度差别不大。

图2 由平均增长量推算出时间序列变化图表2 平均发展速度法预测结果教师点评：①同平均增长量计算方法一样，平均发展速度计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份取值，有n n X a a 0=，而方程式法则要考虑到整个年份取值变化，有∑==+++ni i na X a X a X a 10200Λ，方程式法内插预测曲线与原始曲线所夹面积A 和面积B 也相等；②在方程式法计算中，计算平均增长速度可以采取试错法（让学生尝试着编写小循环程序求解）或插值法；③同平均增长量计算一样，平均发展速度计算方法也有两种，其中几何法也只是考虑起始年份取值，而方程法则要考虑到整个年份取值变化；④由预测结果可以看出，无论是平均增长量法还是平均发展速度法只适于作短期预测，否则预测相对误差会显著提高。

3．移动平均法移动平均法是根据时间序列资料，采取逐项移动平均办法，计算一定项数序时平均数，以反映长期趋势方法。

移动平均法主要有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等。

这里主要介绍简单移动平均法。

记11,t t t N t y y y M t N N--++++=≥L为t 期移动平均数；N 为移动平均项数。

由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动影响，使长期趋势显示出来，可以利用其进行外推预测。

预测公式为：1ˆt t yM +=，即以第t 期移动平均数作为第t ＋1期预测值。

表3 移动平均预测结果图3 由平均发展速度推算出时间序列变化图由图4，我们可以得出这样结论：移动平均法对原始序列产生了一个修匀作用，并且移动平均所使用间隔期越长，即N 越大，修匀程度也越大，但对原始数据反应越不灵敏；反之，则反是。

为此，我们需要依据误差分析选择间隔时期N ，结果见表4。

表4 烟台市GDP 移动平均预测法误差分析 由表4中分析可知，在N=3时产生误差较小，因此，选定N=3进行预测，得到1999年烟台市GDP 预测值为6767466.7万元。

教师点评：①简单移动平均法只适合作近期预测，且如果目标发展影响因素发生较大变化，采用简单移动平均法就会产生较大预测偏差和滞后；②移动平均法会损失一部分数据，因而需要数据量较大；③移动平均法对所平均N 个数据等权看待，而对t N 期以前数据则完全不考虑，这往往不符合实际。

4．指数平滑法指数平滑法是移动平均法改进和发展，它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据重要图4 烟台市GDP 移动平均预测曲线性，且使用了全部历史资料。

指数平滑计算公式为：)1(1)1()1(--+=t t t S a ay S ，其中：a 为权数，)1(t S 为一阶指数平滑值。

二阶指数平滑就是在一阶指数平滑基础上再进行一次指数平滑，高阶依此类推。

由于指数平滑存在着滞后现象，因此，无论一次指数平滑或二次、三次指数平滑值[3]（数据略），都不宜直接作为预测值。

但可以利用它来修匀时间序列，以获得时间序列变化趋势，从而建立预测模型。

由相应指数平滑数值，可以建立如下指数平滑二次曲线趋势预测模型。

2ˆl c l b a P D G tt t l t ++=+ 其中(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)233[(65)2(54)(43)]2(1)[2]2(1)t t t t t t t t t t t t a S S S a b a S a S a S a a c S S S a ⎧⎪=-+⎪⎪⎪=---+-⎨-⎪⎪⎪=-+-⎪⎩， )1(t S 、)2(t S 、)3(t S 为当前时间点处一次、二次、三次指数平滑值，l 为预测时段长。

为了预测烟台市1999年和2000年国内生产总值，可以取t=49，l 分别取1和2。

由指数平滑数值可计算出：49a =7583559.18，21b =936865.62，21c =294704.17，故得二次曲线指数平滑预测模型为：24917.29470462.93686518.7583559ˆl l P D G l⨯+⨯+=+ （1）分别令l =1、l =2得预测结果见表5。

表5 指数平滑预测结果教师点评：①在作指数平滑时，涉及到初始值和权数a 选取问题，不同取值导致结果各不相同；②由于指数平滑法也存在着严重滞后现象，所以直接用平滑值去预测未来值会带来较大误差，当建立指数平滑模型进行预测时，就会大大地减少预测误差。

5．曲线拟合法多项式曲线拟合法亦称趋势拟合法或时间回归法，该方法根据时间序列随时间变化趋势，运用LS 拟合一条曲线，而后利用该曲线随时间变化规律对时间序列未来取值进行预测。

我们根据烟台市GDP （1949—1998）资料拟合出如下曲线：GDP=29669.339+12267.158×T -4330.927×T 2+473.564×T 3-18.571×T 4+0.244×T 5 R 2=0.9905。