可见，不论 哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时， 为介于 之间的一个数，(4)中的 不论正负，只要 满足条件，(4)就成立。
4：设在点 处有一个增量 ，得到点 ，在以 和 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有
即 这准确地表达了 和 这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。
5：几何意义：如果曲线 在除端点外的每一点都有不平行于 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。
.中值定理
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第一节中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日定理的应用。
教学过程：
一、罗尔定理
定理1：若函数f(x)满足：（i）f(x)在[a,b]上连续；（ii）f(x)在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得f ( )=0.
证明：上式又可写为 ……(1)
作一个辅助函数： ……(2)
显然， 在 上连续，在 上可导，且
，所以由罗尔中值定理，在 内至少存在一点 ,使得
。又
或 。
注1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；
2：定理中的结论，可以写成 ，此式也称为拉格朗日公式，其中 可写成：
……(3)
若令 ……(4)
3：若 ，定理中的条件相应地改为： 在 上连续，在 内可导，则结论为： 也可写成
三、柯西中值定理
定理3：若 满足：
(i) 在 上连续；
(ii) 在 内可导；
(iii) 在 内恒不为0；
(iv) ；
则在 内至少存在一点 ，使得 。
证明：令 ，显然， 在 上连续，且 在 内可导，更进一步还有 ，事实上，
所以 满足罗尔定理的条件，故在朗日中值定理的推广，事实上，令 ，就得到拉格朗日中值定理；
2：几何意义：若用 （ ）表示曲线 ，则其几何意义同前一个。
【例1】若函数 在 内具有二阶导数，且 ，其中 ，证明在 内至少有一点 ，使得 。
【例2】若 ，证明 。
证明：对 ，取 ， ，
不难验证： 满足拉格朗日中值定理的条件，故在 内至少存在一点 ，使 满足 ，即
由 的任意性，知本题成立。
注：条件“ ”可改为“ ”，结论仍成立。
由定理还可得到下列结论：
推论1：如果 在区间 上的导数恒为0，则 在 上是一个常数。
证明：在 中任取一点 ，然后再取一个异于 的任一点 ，在以 ， 为端点的区间 上， 满足：(i)连续；(ii)可导；从而在 内部存在一点 ，使得
又在 上， ，从而在 上， ，
，所以 ，
可见， 在 上的每一点都有： （常数）。
二、拉格朗日中值定理
在罗尔定理中，第三个条件为(iii) ，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：
定理2：若函数满足：(i) 在 上连续；(ii) 在 上可导；则在 内至少存在一点 ，使得 。
若此时，还有 ， 。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。
【例3】证明： 。
【例4】证明：若 在 上可导，且 存在，则 。
【例5】证明 （ ）。
证：令 ， ，
由推论知f(x)=常数！再由 ，故 。
【例6】若方程 有一个正根 ，
证明方程 必有一个小于 的正根。
证明：令 ，在闭区间 上满足罗尔定理的三个条件，故
上式表明 （ ）即为方程 的根。
证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：
（1）M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m， ＝0，因此，可知 为（a,b）内任一点，都有f ( )＝0。
（2）M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M f(a)（对m f(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点 ，使得f( )=M,即f(x)在 点得最大值。下面来证明：f ( )=0
2：罗尔定理中的 点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数 在点 处取得最大值或最小值，则有 。
3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于 轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于 轴。
【例1】设多项式 的导函数 没有实根，证明 最多只有一个实根。
首先由（ii）知f ( )是存在的，由定义知：
f ( )= …….(*)
因为 为最大值， 对 有f(x) M f(x)－M 0,
当x> 时，有 0
当x< 时，有 0。
又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于 ，即 ，然而，又有 和
。
注1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。