设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与 a 同向， | a | | a | a 0 ( 2) 0, ( 3) 0, a 与 a 反向， | a || | | a |
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
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例6.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点. y z 2 ,得 y 0 , z 2 令 x = 1, 解方程组 y 3z 6
是直线上一点 . 再求直线的方向向量 s . 交已知直线的两平面的法向量为
4. 空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式
截距式
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1 y y1 y2 y1 y3 y1
点 : ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 : n ( A , B , C )
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
空间直线
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
对称式
x x0 m t 参数式 y y0 n t z z0 p t ( x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
a b ax bx
i
j ay by
k az bz
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, 例 1 已知 a {11,4}， b {1,2,2}，求（1） a b ；（2） a 与 b 的夹角；（3） a 在 b 上的投影. 解 (1) a b 1 1 1 ( 2) ( 4) 2 9.
2 2
2
a b 0
a x bx a y b y a z bz 0
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运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a ( b) ( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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向量积的坐标表达式
a b (a y bz a z by )i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx )k
其中a x ,a y , az 分别为向量在x, y, z 轴上的投影 .
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4.向量的线性运算 (1)加法： a b c (2)减法： a b d (3)向量与数的乘法：
b
ab c
a
ab d
a prja b b prjb a
数量积的坐标表达式
a aa
2
a b a x bx a y b y a z bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
a b
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
角形 ABC 的面积 解: 如图所示,
B
S A B C 1 AB AC
2
i 2 1 j 2 2 k 2 4

A
C
1 2
1 ( 4, 6, 2 ) 2
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
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1.1.2 空间解析几何
( a x )i ( a y ) j ( a z )k
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2 2 2 向量模长的坐标表示式 | a | a x a y a z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax a x a y az ay
2 2 2
n (0, B, C ) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
（1）旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.
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方程特点:
f ( x, y ) 0 设有平面曲线L : z0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x , y 2 z 2 ) 0 (2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x 2 z 2 , y ) 0
2 2
2
点到平面的距离公式：
点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面Ax By Cz D 0的距离为
d
Ax0 By 0 Cz0 D A B C
2 2 2
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2、曲面
空间曲面S与三元方程 ( x, y, z) 0对应 F .
cos
a x a y az
2 2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
( cos 2 cos 2 cos 2 1 )
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5.数量积
a b | a || b | cos
其中 为 a 与 b 的夹角
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线性运算的坐标表达式
a {a x , a y , a z } b {bx , b y , bz } a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a b {a x bx , a y b y , a z bz } (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k a { a x , a y , a z }
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b 例 2 求与 a 3i 2 j 4k ， i j 2k 都垂
直的单位向量.
解
c a b ax bx
i
j ay by
k
i
j
k
az 3 2 bz 1 1 2
S＝
b
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性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0 a∥ b
ax a y az bx by bz
运算律
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
3.向量的表示法 （1）有向线段 (模和方向余弦） （2）向量的分解式： a a x i a y j a z k
在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
（3）向量的坐标表示式： 向量的坐标： a x , a y , a z
a {a x , a y , a z }
( a b )( a b )
aa
2
bb
2
a 2 a b cos b 3 2 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 3 4 17

a b 17
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
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6. 向量积 定义：
设 a , b 的夹角为 ，
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
向量 c
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
c ab
(叉积)
a c ab a

几何意义：右图三角形面积
1.1空间解析几何
1.1.1 向量代数
1.1.2 空间解析几何
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1.1.1 向量代数
1.向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量.
向量的模 2.几种特殊向量 单位向量、 零向量、 相等向量、 向径. 负向量、
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三点式
中华工程资格考试网Fra bibliotekAx By Cz D 0 ( A B C 0 )
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
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例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4 , 3 , 1) 得
化简,得所求平面方程
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( 2) cos a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
bx b y bz
2 2
2
1 , 2 ( 3) a b | b | Pr jb a
ab Pr jb a 3. |b |
3 . 4
4 10 j 5k ,
| c | 102 52 5 5 c 2 1 0 j k . c 5 5 |c |