对数函数的图像与性质知识点与习题一、知识回顾：1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数，其图象关于直线x y =对称二、例题与习题1.)35lg(lg x x y -+=的定义域为___ __；2. 已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 3.041log212≤-x ，则________∈x4.函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a5.若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是 （ ）（A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m6．函数x x f a )1(2log )(-=是减函数，则实数a 的取值范围是 .7．若132log >a，则a 的取值范围是8.已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=xx f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g9．方程lgx -x ＋1＝0的实数解有______个．10.)2lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为 .11.求)1,0()(log ≠>-=a a a a y xa 的定义域。

12.已知3log 1)(x x f +=，2log 2)(x x g =，试比较)(x f 与)(x g 的大小关系。

13．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性； （2）若不等式2|)(|<x f 的解集为a x x 求},2121|{<<-的值； （3）求)(x f 的反函数)(1x f -； （4）若31)1(1=-f，解关于x 的不等式∈<-m m x f()(1R ）.14.已知函数12)(-=x x f 的反函数为)13(log )(,)(41+=-x x g x f(1)若)()(1x g x f≤-，求x 的取值范围D 。

设)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求函数)(x H 的值域三、练习题1．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 。

2．函数y=log 21(x 2-5x+17)的值域为 。

3．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。

4.若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,21( （D ）),1(+∞5.若02log 2log <<b a ,则 （ ） （A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）1>>b a （D ）1>>a b6.函数)0(1log 2≠-=a ax y 图象的对称轴为2=x ，则a 为 （ ） （A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）2-7．函数f(x)=xx10110+的反函数是 。

8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是 。

9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为 。

10．函数y=(21)2x +1+2,(x<0)的反函数为 。

11.已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a1+x 是（ ）（A ）在（-∞，0）上的增函数 （B ）在（-∞，0）上的减函数 （C ）在（-∞，-1）上的增函数 （D ）在（-∞，-1）上的减函数12.已知函数f(x)=x lg ,0<a<b,且f(a)>f(b)，则 （ ）（A ）ab>1 （B ）ab<1 （C ）ab=1 （D ）(a-1)(b-1)>013.(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则a 的取值范围是 （ ） （A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）(]2,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2114．若函数y=lg[x 2+(k+2)x+45]的定义域为R ，则k 的取值范围是 。

15. 已知函数y ＝log a x ，x ∈[2，4]，a ＞0且a ≠1，又函数最大值比最小值大1，则a 的取值范围是______。

16.已知函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a xa x x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是 .17.关于x 的方程a x ＝x a1log (a ＞0，a ≠1)，以下说法正确的是( )(A)必有唯一解 (B)仅当0＜a ＜1时有唯一解(C)无解 (D)仅当a ＞1时有唯一解18.设)(3421lg)(R a ax f x x ∈⋅++=，如果当)1,(-∞∈x 时)(x f 有意义，求a 的取值范围。

12．已知函数)10,1)(lg()(<<>-=b a b a x f xx ， （1）求)(x f 的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？ （3）当a 、b 满足什么条件时)(x f 恰在),1(+∞取正值. 13．求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的值域. 14．在函数)1,1(log >>=x a x y a 的图象上有A 、B 、C三点，它们的横坐标分别为m 、2+m 、4+m ，若 △ABC 的面积为S ，求函数)(m f S =的值域.15.设集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=03log 14)(log 24221x x x A ，若函数2log log)(a xa axa x f ⋅=，其中1,0≠>a a ，当A x ∈时，其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=241y y B ，求实数a 的值。

例4、若关于x 的方程0542511=-⋅-+-+-m x x 有实根，求m 的取值范围。

变题1：设有两个命题：①关于x 的方程9(4)340x xa ++⋅+=有解；②函数22()log a a f x x -=是减函数。

当①与②至少有一个真命题时，实数a 的取值范围是＿＿变题：已知函数3()log 3ax f x x -=+的定义域为[),αβ，值域为(]log (1),log (1)a a a a βα--，且函数()f x 为[),αβ上的减函数，求实数a 的取值范围。

函数)2lg()(b x f x-=（b 为常数），若[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则（ ） （A ）1≤b （B ）1<b （C ）1≥b （D ）1=b 在22,log ,2xy x y y x===这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例1】已知11log )(--=x mxx f a是奇函数 （其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.[解析]（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a aΘ 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a Θ定义域为),1()1,(+∞--∞Y ， 设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且Θ（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在Θ上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a， 解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞Y ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0Θ恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。

从“x a log 的值域为R ”，这点思考，“u 21log 的值域为R ”等价于“)(x g u =能取遍),0(+∞的一切值”，或理解为“)(x g u =的值域包含了区间),0(+∞”)(x g u =Θ的值域为),,0(),3[2+∞⊇+∞-a∴命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或，∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞Y ；（3）应注意“在),1[+∞-内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类，⎩⎨⎧<<--≥⎩⎨⎧->-<⇒⎩⎨⎧<-=∆-≥⎩⎨⎧>--<∴33121012410)1(12a a a a a a g a 或或， a ∴的取值范围是)3,2(-；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322>+-ax x 的解集为}31|{><x x x 或，3,121==∴x x 是方程0322=+-ax x 的两根，,2322121=⇒⎩⎨⎧=⋅=+∴a x x a x x 即a 的值为2； （5）由对数函数性质易知：)(x g 的值域为),2[+∞，由此学生很容易得2)(≥x g ，但这是不正确的.因为“2)(≥x g ”与“)(x g 的值域为),2[+∞”并不等价，后者要求)(x g 能取遍),2[+∞的一切值（而且不能多取）.∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ，∴命题等价于123)]([2min ±=⇒=-=a a x g ； 即a 的值为±1； （6）命题等价于：⎩⎨⎧>≥=⇔⎩⎨⎧-∞∈>-∞0)1(1]1,(0)(]1,()(0g a x x x g x g 恒成立对为减函数在， 即⎩⎨⎧<≥21a a ，得a 的取值范围是)2,1[.[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验.【例3】解答下述问题：（Ⅰ）设集合}03log 21log 2|{8221≤+-=x x x A ，若当Ax ∈时，函数4log 2log )(22xx x f a⋅=的最大值为2，求实数a 的值. [解析]}3log 21|{}03log 7log 2|{2222≤≤=≤+-=x x x x x A Θ}82|{≤≤=x x 而a x a x x a x x f 2log )2(log )2)(log (log )(22222++-=--=， 令321,82,log 2≤≤∴≤≤=t x t x Θ，a t a t t g x f 2)2()()(2++-==∴，其对称轴22+=a t ， ①当4722≤+=a t ，即12)3()]([23max =⇒==≤a g t g a 时，适合； ②当6132)21()]([,23,4722max =⇒==>>+=a g t g a a t 时即，适合；综上，6131或=a .（Ⅱ）若函数22724)(21+⋅-=-x x a x f 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a 的值. [解析]2272221)(2+⋅-⋅=x x a x f Θ， 令41,20,2≤≤∴≤≤=t x t xΘ，),41(2227)(2122721)()(222≤≤-+-=+-==∴t a a t at t t g x f∴抛物线)(t g 的对称轴为a t =， ①当2584394243)4()]([,25max >=⇒=-==<a a g x f a 时，不合；②当25≥a 时，5914)1()]([max =⇒=-==a a g x f ，适合； 综上，5=a（Ⅲ）设关于x 的方程∈=--+b b x x(0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.[解析]（1）原方程为124+-=x xb ，11)12(22)2(24221-≥--=⨯-=-+x x x x x Θ，),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；（2）①当1-=b 时，12=x ，∴方程有唯一解0=x ；②当1->b 时，b b xx +±=⇒+=-1121)12(2Θ.b b x x ++=∴>++>112,011,02Θ的解为)11(log 2b x ++=；令,0111011<<-⇒<+⇒>+-b b bb b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；综合①、②，得1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； 2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；3）当1-<b 时，原方程无解.[评析]例3是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.。