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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点2 对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如
下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．
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3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区
间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
C．(－21，21)
D．(0，12)
[解析] 因为函数 y＝log0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式
3x>0，
等价于x＋1>0， 3x>x＋1，
解得
1 x>2.
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5．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知 x 满足(log1 x)2－log1 x－
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∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若 x<－31，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，y＝logau 为减函数，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1) 为减函数， 若 x<－31，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
性之间的关系(见下表).
函数 y＝f(μ) μ＝g(x)
y＝f[g(x)]
增函数 增函数 增函数
单调性 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数
减函数 减函数 增函数
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【对点练习】❶ (2020·河北沧州市高一期末测试)函数 f(x)＝log1 (x2
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关键能力·攻重难
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题型探究
题型一 对数型复合函数的单调性
例 1 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调 区间必须是定义域的子集． [解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1 或 x<－13}． 当 a>1 时，若 x>1，∵y＝logau 为增函数，又 u＝3x2－2x－1 为增函 数，
2
2
6≤0，求 f(x)＝(1＋log2x)log24x的最大值与最小值及相应 x 的值．
[解析] 由(log1 x)2－log1 x－6≤0，得－2≤log1 x≤3，
2
2
2
∴18≤x≤4.
f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)， 令 t＝log2x∈[－3,2]，
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2．已知函数 f(x)＝2log1 x 的值域为[－1,1]，则函数 f(x)的定义域是
2
(A)
A．
22，
2
C．12，2
B．[－1,1]
D．－∞，
22∪[
2，＋∞)
[解析]
由－1≤2log1
2
x≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得 22≤x≤ 2.
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基础自测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知0<a<1.
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[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆 分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复 合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调
基础知识
知识点1 对数型复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单
调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__增__函__数____；若f(x)与g(x)的单调性相 反，则其复合函数f[g(x)]为___减__函__数___.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝ logau 与 u ＝ f(x) 两 个 简 单 函 数 复 合 而 成 的 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 “ 同 增 异 减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑 函数的定义域．
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∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝(t－12)2－49， ∴当 t＝12，即 log2x＝12，x＝ 2时，函数取最小值－49；当 t＝－3， 即 log2x＝－3，x＝18时，函数的最大值(－3－12)2－94＝10.
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第四章 指数函Байду номын сангаас与对数函数
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)
上的递减区间．故选A．
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第四章 指数函数与对数函数
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4．已知 log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则 x 的取值范围为( A )
A．(12，＋∞)
B．(－∞，21)
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
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