称为一维搜索问题。
min （）＝f ( X (k) （k) S（k) )
◎在极小点附近，函数呈现“大－小－大”
y
y f (x)
y
y f (x)
一维搜索的思路
（1）确定极小点α*所在的区 间[a, b]，在此区间内，函数呈 现“大－小－大”变化趋势。 搜速区间。
x
（2）在[a, b]内找α*－将区
;f3， 重排顺序
(3) (2), f3 f2 ;
(2)+h (3)。计算（ f ( 3 )），令（ f ） (3) f3 (1) 若f3 f1，则[a,b]=[(3),(2)]，停止计算。 (2) 若f3 f1，则 2h h，(2) (1)，f2 f1，
(3) (2)，f3 f2 (2) h (3)，计算（ f ( 3 )），令（ f ） (3) f3 ,
设一元函数f (a )的起始搜索区间为[a ,b], *是
函数的极小点。
在搜索区间[ a,b ]内任取两点 (1)、 ( 2 )。且 a (1) ( 2 ) b,计算f ( (1) )、f ( ( 2 ) )。将f ( (1) )与 f ( ( 2 ) )进行比较，可能出现三种情况：
(3) (2)，f3 f2 (2) h (3)，计算（ f ( 3 )），令（ f ） (3) f3 ,
返回( 1 )重新开始。
进退试算法步骤
step4. 若在步2中，f2 f1，后退运算
以(1)为起始点，步长反号，反方向搜索。
-h
h; (1) (3), (2) (1), f2
f1 f1
1＝2＝1, 2＝3＝2, 3＝2 h＝4
f1 f (1 ) 10 f2 f (2 ) 4
作前进运算
f3 f (3 ) 0
再作前进运算
f1 f (1 ) 4 f2 f (2 ) 0 f3 f (3 ) 2
d . 比较 f2 f3 再作前进运算
h 22 4
1＝2＝2,
f( )
பைடு நூலகம்
(1) f ( (1) ) f ( ( 2 ) ).取区间[ a, ( 2 ) ]； ( 2 ) f ( (1) ) f ( ( 2 ) ).取区间[ (1) ,b ]。
a a(1)
b * a( 2 )
二、0.618的由来
1. （1）,（2）在[a,b]中位置对称
2. 每次缩短的区间缩短率不变，减少计算量。
f1 f (1 ) 0
2＝
＝4
3
,
f2 f (2 ) 2
3＝2 h＝8 f3 f (3 ) 18
e. 此时有 f1 f2，f2 f3 ,故a=1 2,b 3 .即初始搜索
区间为[2,8].
§4－2 黄金分割法（0.618法）
一、消去法的基本原理
基本思路：逐步缩小搜索区间，直至最小点存在的区 间达到允许的误差范围为止。
的修正量，它们是决定最优化算法好坏的重要因素。
假定给定了搜索方向S（k)，从点X（k)出发沿S（k)方向
进行搜索，要确定步长（k)，使得 f ( X (k1) ) f ( X (k ) （k) S（k) ) f ( X (k ) )
记
（）＝f ( X (k ) （k) S（k) ) 即确定步长（k)，就是单变量函数（）的搜索问题。
间长度逐步缩短。
0.618法与二次插值法就是解 决第二个步骤的方法
a
b
x
在极小点附近，函数呈现“大－小－大”
y
y f (x)
x
y
y f (x)
x
二、确定搜索区间的进退法
• 基本思想
从一点出发，按一定的步长，试图确定出函数值 呈现出”高－低－高“的三个点。一个方向不成功，就 退回来沿相反方向搜索。
(1) f ((1) ) f (( 2 ) ).在这种情况下，可以丢掉(( 2 ) ,b] 部分，而最小点必定在[a,( 2 )]内。
f( )
f( )
a
b a(1 ) *
a( 2 )
a
b * a(1 ) a( 2 )
( 2 ) f ((1) ) f (( 2 ) ).在这种情况下，可以丢掉[ a,(1) ) 部分，而最小点必定在[(1) ,b ]内。
一元函数的极小值问题，就是一维最优化 问题，其数值迭代方法亦称为一维搜索方法。
一维搜索最优化是优化方法中最简单、最基 本的方法。
主要方法有：0.618法、牛顿法、二次插值法 等。
§4－1 一维搜索的搜索区间
一、一维搜索的概念
迭代计算的基本格式
X X S (k1)
(k)
(k) (k)
显然，搜索方向S（k)和步长因子（k)构成了每一次迭代
具体作法：
给出初始点0，初始步长h0 0,若（0＋h0）<（0）,
则下一步从新点0＋h0出发，加大步长向前搜索，直到目标
函数上升就停止。若（0＋h0）>（0）,则下一步仍然从点
出发，沿反方向搜索，直到目标函数上升就停止。这样就
0
可以得到一个搜索区间。
进退法步骤
step1. 给定初始值。给定初始点 ( 0 )，初始步长h 0。
返回( 1 )重新开始。
例4.1 用进退法确定函数
f ( a ) a2 7a 10 的一维优化初始搜索区间[a,b]。
设初始点0 0,初始步长h 1。
解：按顺序进行计算，有
a. 1 0 0 2 1 h 1
b. 比较 f2 f1
3 2 h 2
c. 比较 f2 f3 h 21 2
step2. 令 ( 0 ) (1)， (1) h ( 2 )。计算（ f (1)），（ f ） (2) 令（ f ） (1) f1，（ f ） (2) f2
step3. 若f2 f1，前进运算，(2) h (3)。计算（ f ( 3 )） 令（ f ） (3) f3
(1) 若f2 f3，则[a,b]=[(1),(3)]，停止计算 (2) 若f2 f3，则 2h h，(2) (1)，f2 f1，
f( )
f( )
a a(1)
b * a( 2 )
a a(1 ) a( 2 ) *
b
( 3 ) f ( (1) ) f ( ( 2 ) ).在这种情况下，可以丢掉[ a, (1) ) 部分，也可以丢掉( ( 2 ) ,b ]部分，而最小点必定在[ (1) , ( 2 ) ]
内。因此这种情况可以并入上面的任意一种情况。