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经济数学基础(微积分)讲义

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一:5个基本函数1,常数函数,c y = (c 是常数)例如:3=y ,1-=y ,这些函数可以看成是x 隐含,例如3=y 可看成30+=x y 。

2,幂函数,αx y =(α是一个数) 形如2x y =,3x y =,5x y =是幂函数,注意:仅仅是这种形式是幂函数,其他的任何一点形式变化都不是,2x y =是幂函数,22x y =就不是幂函数,只能是下面x ,上面(指数)是一个数!以下基本函数均如此3,指数函数,x a y =,(a 是一个数) 例如:x y 2=,x y 23⋅=不是指数函数。

4,对数函数x y a log =,这里要求x 必须大于零,我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数,一个是x y ln =,他是x y e log =的简写,e 是一个数,718.2=e ,和我们知道的14.3=π一样,另一个是x y lg =,他是x y 10log =的简写。

5,三角函数x y sin =,x y cos =,特别注意的是x y sin 2=,x y 2sin =,都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如:12sin 232+++=x x e y x ,二次函数,由幂函数,常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二:极限1,什么是数列?数列就是按照“一定规律排列的一组数”,我们常见的是无限数列。

数学符号记为:}{n a例如:数列:1,2,4,8,16,32,……,发展规律依n 2 变化,,4,3,2,1,0=n …… 1,21,41,81,……,发展规律依n 21变化,,4,3,2,1,0=n …… 2,极限学习极限,一个非常重要的认识就是“分母越大,分数越小” 数列的极限,就是指数列的一个趋近值,(即是指一串数的趋近值)例如:1,21,31,41,……,分母由1,2,3,4,……变化,当分母无限大时,1000001,1000000001,……,最后,这个无限数列趋近于0,这里,我们简单描述这个变化,∞→n01→n分母越大,分数越小 →是趋近,∞是无穷大的意思,无穷大是指非常非常大,无法计量。

是指数轴的最远端。

用极限式写为:1=n 例如:1,21,41,81,……,这个数列由n 21,n 取0,1,2,3,4,……得到,∞→n∞→n 2021→n分母越大,分数越小 用极限式写为1lim =∞→n例:求极限11lim+∞→nn 分析:∞→n01→n 111→+n所以,解为解:11lim +∞→nn =1 例:求极限n n n 32lim +∞→分析:n n n 32lim +∞→可变为n n n n 32lim +∞→,继续n n 32lim +∞→∞→n03→n分子是数,分母是无穷大,一个固定数与无穷大相比,固定数显得太小太小,忽略不计, 232→+n不是所有数列都有极限,极限存在是指数列趋近于一个固定数,不趋近一个数,说极限不存在。

例如:∞→n 时,∞→n 2,所以n n 2lim ∞→不存在,极限存在,称数列收敛,不存在,称为发散。

函数的极限,就是把前面的n 看成是可取任何数的x 就可以了。

例如:求极限xx x 32lim+∞→,分析:理解为∞→x 时,?32→+xxx x x x x x 323232+=+=+ ∞→x 03→x 分母越大,分数越小 232→+x所以232lim =+∞→x x x函数在某一点的极限 如图:函数xy 1=函数在这一点1=x 不取值,x 的取值可无限靠近1,于是就有函数在一点的极限,xx 1lim 1→这个极限的意思是:1→x 当x 无限靠近1时,也说x 趋近1 ?1→x x1趋近于多少 从图上看得出y 值x 1趋近于1函数在一点的极值记为:A x f x x =→)(lim 0,A 是函数)(x f y =在点0x 处的极限值,是一个趋近值。

例:求极限11lim 21--→x x x ,这是一类直接带入分母为0的极限,这类极限需要分解因式约去为0分母,然后直接带入求值。

分析:直接带入,分母为0,于是对分子分解因式,11)1)(1(112+=--+=--x x x x x x ,所以,11lim 21--→x x x =lim 1→xx 考题分析:计算极限22412lim 54x x x x x →---+。

解:37)1)(4()3)(4(lim 4512lim 4224=--+-=+---→→x x x x x x x x x x 计算极限22256lim 68x x x x x →-+-+。

解:2143lim )4)(2()3)(2(lim 8665lim 22222=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 计算极限)4421(lim 22---→x x x 解 )4421(lim 22---→x x x =)44)2)(2(2(lim 22--+-+→x x x x x = )2)(2(2lim2-+-→x x x x = 41)2(1lim2=+→x x *:求函数在某一点的极限:1,带入分母不为0,就直接带入求值。

2,带入分母为0,先分解因式,约掉为0分母,然后带入求值。

关于∞→x 求极限的一般方法 比较分子和分母最高次项系数,1,分子最高次项指数小于分母最高次项指数,极限为0 2,分子最高次项指数等于分母最高次项指数,极限为系数比 3,分子最高次项指数大于分母最高次项指数,极限不存在例:求极限lim →x 分析:当∞→x 时,3x 远比2x 大。

比3x 指数小的,都可以视为0,因此,这个极限分母远比分子大,极限值是0。

也可以对11lim 32++-∞→x x x x 分子分母同除以3x ,得11lim 32++-∞→x x x x =33211111lim xx x x x ++-∞→,当∞→x 时,01→x ,012→,013→。

所以,此题极限是0.例:求极限lim →x 分析,比3x 指数小的,都可以视为0,常数直接去掉。

所以此题极限是最高次项系数比32,也可以分子分母同除以3x 。

解:12322lim 33-++-∞→x x x x x =32例:求极限122lim 23-+∞→x x x分析,显然,分子最高次数为3,当∞→x 时,分子远大于分母,次极限不存在。

归纳为如下:⎪⎪⎩=++++++----∞→b xb x b a x a x a m m m m m n n n n x lim 011011解此类题只看最高次项,直接写答案。

考题举例:求极限22235lim 321x x x x x →∞--+-解:22235lim 321x x x x x →∞--+-=32求极限 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x解:23))32)(1()23()21(lim 625-=--++-∞→x x x x x x两个重要极限:(这两个是公式,直接使用!)1,1sin lim 0=→x x x ,或 1sin lim 0=→x xx ,考试常现,希望注意,现以考题作讲解。

公式应理解为[[][]1sin lim=,或[][]1lim =,括号[]里面填任何变量都可以,例:求极限x lim 0→分析:通过变形,达到[]内相同,x x x 5sin lim 0→=555sin lim 0⋅→xxx ,因为,0→x 时05→x ,所以x x x 5sin lim 0→=x x x 55sin 5lim 0→=x lim 05→例,求极限0sin lim x x xx→-分析:0sin lim x x x x →-=x lim →也可以0sin lim x x x x →-=x x lim 0→ 例,xxx 5sin 3sin lim0→ 解:原式=5311535sin 33sin lim535355sin 33sin lim 00=⨯=⨯=⨯→→x x xx x x x x x总结:极限的运算遵循 也遵循乘法可分原则2,e xx x =+∞→)11(lim 或 e z z z =+∞→1)1(lim这个公式e xx x =+∞→)11(lim 都要理解成[][][]e =+∞→)11(lim ,只要[]里一样,极限值就是e 718.2=e次类考得少,只举一个简例, 例求极限xx x)211(lim +∞→ 分析:x x x )211(lim +∞→=212)211(lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→x x x =21212)11(lim e x =⎤⎡+知识点: 无穷大量与无穷小量,此考点经常考,其实简单,极限值是0的就是无穷小量,极限值是0的就是无穷小量。

极限值是无穷大的就是无穷大量。

考题举例例:1,已知xxx f tan 1)(-=,当 0→x 时,)(x f 为无穷小量. 2,已知xxx f sin 1)(-=,当 0→x 时,)(x f 为无穷小量. 3,设()1sin xf x x=-,当( A )时,f(x)为无穷小量. A .x →0 B .x →1 C .x →-∞ D .x →+∞ 4,当+∞→x 时,下列变量为无穷小量的是( D )A .)1ln(x +B . 12+x xC .21e x - D . xxsin5,已知1tan )(-=xxx f ,当( A )时,)(x f 为无穷小量.A. x →0B. 1→xC. -∞→xD. +∞→x6,当1x →时,变量( D)为无穷小量。

A .11x - B .sin xxC .5xD .ln x7,当0x →时,变量( D )是无穷小量。

A .13xB .sin xx C .ln(2)x +D .1sin x x函数的连续x 可以再一段数上面都取得到,称函数在这一段数上面连续,例如,xy 1=在21<<x 这一段数上面连续,但在11<<-x 这段数上面不连续,因为x 取不到0. 以下用考题来分析,1,函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( B ).A .-2B .-1C .1D .22.函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续,则k = ( C ).A .-2B .-1C .1D .23. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续,则=k ( A ). A. 1 B. 0 C. 2 D.1-4.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x xxx f 在x = 0处连续,则k = ( B ). 5.若函数21, 0(), 0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩,在0x =处连续,则k = ( B ).A . 1-B .1C .0D .26.已知211()11x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩,若f(x)在(-∞,++∞)内连续,则a= 2 .7.已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ,若f x ()在x =1处连续,则=a 2 .此类题目就是对上面一个式子求当x 不等于那个数时的极限。

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