1高中数学常用公式与证明专题本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写1.不等式的基本性质：（1）对称性：b a >⇔a b <（2）传递性：b a >，c b >⇒c a > （3）可加性：b a >⇔c b c a +>+（4）加法：b a >，d c >⇒d b c a +>+（5）保号性：b a >，0>c ⇒bc ac >；0<c ⇒bc ac < （6）乘法：0>>b a ，0>>d c ⇒bd ac >（7）乘方：0>>b a ⇒nn b a >（n ∈N*） （8）开方：0>>b a ⇒n nb a >（n ∈N*）2.均值不等式定理： （1）四种形式：整式形式：ab b a 222≥+，ab b a 222-≥+（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）2)2(b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）根式形式：2a b+≥ a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号)分式形式：2≥+ba ab （0>ab ），2-≤+b aa b （0<ab ）倒数形式：若0>x ，则21≥+xx ；若0<x ，则21-≤+x x .（2）推广：nn n a a a na a a (2121)≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正数） （3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑）已知x 、y 都是正数，则有：①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值241s . 3.常用不等式：（1）不等式链：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+（a 、b 均为正数） （2）柯西不等式：22222)())((bd ac d c b a +≥++),,,(R d c b a ∈ 4.含绝对值不等式：2（1）绝对值的几何意义；（2）性质：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.（3）推论：①|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n | ②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件：①|a+b|=|a|+|b|⇔ab ≥0②|a-b|=|a|+|b|⇔ab ≤0 ③|a|-|b|=|a+b|⇔(a+b)b ≤0 ④|a|-|b|=|a-b|⇔(a+b)b ≥05.不等式的证明方法：（1）比较法：作差、作商（2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质 （3）分析法（4）换元法：三角换元、代数换元（5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等 （6）反证法 （7）放缩法 （8）判别式法： （9）数学归纳法 6.不等式的解法：（1）一元二次不等式ax 2+bx+c>0（或<0）（a ≠0）.（结合图象求解集）如果a 与ax 2+bx+c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx+c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x 1<x<x 2 ⇔（x-x 1）（x-x 2）<0； x<x 1或x>x 2 ⇔（x-x 1）（x-x 2）>0. （2）简单的高次不等式：（x-x 1）（x-x 2）…（x-x n ）<0（穿针引线法）（3）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别.（4）含参数的不等式：注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论.（5）当a>0时，|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<-a ⇔(x-a)(x+a)>0 |x|<a ⇔x 2<a 2⇔ -a <x<a ⇔(x-a)(x+a)<0 （6）|ax+b|>cx+d ：分类讨论 （7）|ax+b|>|cx+d|：两边平方（8）m<|ax+b|<n ：分类讨论或直接去绝对值 （9）|ax+b|+|cx+d|<n ：零点分区间讨论法 （10）无理不等式：①⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .3②⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f .③⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .（11）指数不等式：若a>1， 则()()()()f x g x a a f x g x >⇔>， 若0<a<1，则()()()()f x g x a a f x g x >⇔<.（12）对数不等式：若a>1，则()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.若0<a<1，则()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩7.直线的斜率公式：（1）k=tan α，00≤α＜1800，且α≠900； （2）2121y y k x x -=-（P 1),(11y x ，P 2),(22y x 且21x x ≠）.由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像. 8.直线的倾斜角计算：（1）若k 不存在，则090=α；（2）若k 存在，当0≥k 时，k arctan =α；当0<k 时，)arctan(arctan k k --=+=ππα.9.直线方程的六种形式：（注意各种形式适用的范围） （1）点斜式：)(11x x k y y -=- （2）斜截式：b kx y +=（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠、12x x ≠)（4）截距式：1x ya b+=（ab ≠0）横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、横截距是纵截距的几倍或几分之几等，都应注意截距可能为零！截距可正、可负、可为零！ （5）一般式：Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为0）4（6）参数式：⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00（t 为参数）10.两条直线的位置关系：（注意：斜率可能不存在时另外讨论） （1）若l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，则①l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合⇔k 1=k 2且b 1=b 2 （2）若l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1A 2B 1B 2≠0，则①l 1∥l 2⇔212121C C B B A A ≠= ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠ ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==11.直线l 1到l 2的角公式：00＜α＜1800 （1）2121tan 1k k k k α-=+（l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，k 1k 2≠-1）（2）直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是2π. 12.两直线l 1、l 2的夹角公式：00＜α≤900 （1）2121tan ||1k k k k α-=+（l 1：y=k 1x+b 1，l 2：y=k 2x+b 2，k 1k 2≠-1）（2）直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 13.距离：（1）点到直线的距离：d =（点P （x 0，y 0），直线l ：Ax+By+C=0）（2）两平行线间的距离：2221||BA C C d +-= （l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0）14.常用的直线系方程：（1）平行直线系方程：直线y=kx+b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程. 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（m ≠C ）. （2）垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0 (AB ≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0. （3）过定点直线系方程：经过定点P （x 0，y 0）的直线系方程为y-y 0=k(x-x 0) (除直线x=x 0) 经过定点P （x 0，y 0）的直线系方程为A(x-x 0)+B(y-y 0)=0经过定点（0，b）的直线系（斜率存在）方程为y=kx+b.（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0 (除l2外)，其中λ是待定的系数．15.对称问题：（结合图形理解）（1）点关于点对称：思路：利用中点坐标公式点A（a，b）关于原点对称的点A′（-a，-b）.（2）点关于直线对称：①点A（a，b）关于x轴的对称点A′（a，-b）.②点A（a，b）关于y轴的对称点A′（-a，b）.③点A（a，b）关于y=x的对称点A′（b，a）.④点A（a，b）关于y=-x的对称点A′（-b，-a）.⑤点A（a，b）关于x=m的对称点A′（2m-a，b）.⑥点A（a，b）关于y=n的对称点A′（a，2n-b）.⑦点A（x0，y0）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点A′.思路一：利用中点坐标公式、中点在直线l上、垂直关系.（重点掌握）思路二：利用点斜式求出方程，联立方程求出交点，再利用中点坐标公式.（3）直线关于点对称：思路一：轨迹法.（重点掌握）思路二：在给定直线上任取两点，求出这两点关于点的对称点，再求方程.思路三：平行直线系.（4）直线l：Ax+By+C=0关于直线对称：①直线l关于x轴对称的直线是：Ax+B(-y)+C=0②直线l关于y轴对称的直线是：A(-x) +By+C=0③直线l关于y=x对称的直线是：Ay+Bx+C=0④直线l关于y=-x对称的直线是：A(-y) +B(-x) +C=0⑤直线l关于直线l1：A1x+B1y+C1=0对称的直线是l′：思路一：到角公式法（重点掌握）思路二：中点坐标法思路三：轨迹法思路四：待定系数法思路五：直线系法. 16.Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域：设直线l：Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：若B≠0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B 与Ax+By+C 异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax+By+C 异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.17.618.设曲线F ：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0可以表示成（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0的形式，则曲线F 表示两条直线.19.设直线l ： Ax+By+C=0，两点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），若直线l 与线段MN 相交，则（Ax 1+By 1+C ）（Ax 2+By 2+C ）≤0. 20.圆的方程四种形式：（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F>0）▲Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠=040022F E D B C A .（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（4）圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--= （4种证法）（圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ）21.圆系方程：（1）过直线l ：Ax+By+C=0与圆C ：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，λ是待定系数．（2）共交点圆系：过圆C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆方程是x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ（x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0（除圆C 2），其中λ≠－1是待定系数．特别的，当λ=－1时，（D 1－D 2）x+（E 1－E 2）y+（F 1－F 2）=0为两圆公共弦所在的直线方程.（要求：两圆必须相交！） 22.点与圆的位置关系：点P （x 0，y 0）、圆C ：222)()(r b y a x =-+-，d=|PC|，则： d>r ⇔点P 在圆外；d=r ⇔点P 在圆上；d< r ⇔点P 在圆内.注：若点P 是圆C 外一定点，则该点与圆上的点的最大距离为|PC|+r ，最小距离为|PC|-r.23.直线与圆的位置关系：直线：Ax+By+C=0、圆C ：222)()(r b y a x =-+-，则： d>r ⇔相离⇔△<0； d=r ⇔相切⇔△=0；7d<r ⇔相交⇔△>0. 其中，22BA C Bb Aa d +++=，△表示由直线方程和圆方程联立得到的二次方程的判别式.注：（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r ，最小距离为d-r.（2）当直线与圆相交时，弦长l ，弦心距d ，半径r 满足：222)2(r d l =+. 24.弦长公式：若直线b kx y +=与二次曲线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点，则由二次曲线方程和b kx y +=联立可得)0(02≠=++a c bx ax ，则知直线与二次曲线所截得的弦长|AB|||1212x x k -+=||11212y y k-+= ||4122a acb k-+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.25.两圆的位置关系：（1）代数法：由两个圆的方程组成二元二次方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解（或只有一组实数解），则两圆相切； 若方程组没有实数解，则两圆相离或内含. （2）几何法：设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，|O 1O 2|=d ，则：两圆相离⇔ d>r 1+r 2 ⇔4条公切线； 两圆外切⇔ d=r 1+r 2 ⇔3条公切线； 两圆相交⇔|r 1-r 2|<d<r 1+r 2⇔2条公切线； 两圆内切⇔ d=|r 1-r 2| ⇔1条公切线； 两圆内含⇔ 0≤d<|r 1-r 2| ⇔没有公切线. 26.圆的切线方程求法：（1）若点（x 0，y 0）在圆x 2+y 2= r 2上，则切线方程为x 0x+y 0y=r 2. （2）若点（x 0，y 0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r 2上，则切线方程为(x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b)= r 2.求法：利用点斜式（点为切点，斜率为圆心与切点连线的斜率的负倒数）. （3）若点（x 0，y 0）在圆(x-a)2+(y-b)2= r 2外，则切线方程的求法是先设切线方程（即设斜率），再利用圆心到切线的距离等于半径，可求得斜率，从而写出切线方程.注意：切线必有两条，注意不要漏掉切线斜率不存在的情况．（4）若点（x 0，y 0）在圆x 2+y 2= r 2外，过点P 引两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为x 0x+y 0y=r 2.（5）切线长：过圆外一点P （x 0，y 0）作圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的切线PM ，M 为切点，则切线长|PM|=F Ey Dx y x ++++002020.27.已知曲线C 1：F 1（x ，y ）=0、C 2：F 2（x ，y ）=0，则过C 1、C 2交点的曲线系方程为F 1（x ，y ）+λF 2（x ，y ）=0（λ是待定的系数）． 28.在曲线方程（包括线性约束条件）中，求xy 型、22y x +型、y x +型值域（或最值）等相关问题时，应数形结合充分利用几何特征解题.（还可考虑参数法！） 29.圆的对称问题：（1）圆关于直线对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于直线对称. （2）圆关于直线成轴对称：直线过圆的圆心.（3）圆关于点对称的圆：半径相同、两个圆的圆心关于点对称. 30.椭圆的定义：（1）第一定义（距离定义）：|MF 1|+|MF 2|=2a （2a>|F 1F 2|>0）.注意：若2a=|F 1F 2|，则点M 的轨迹是线段；若2a<|F 1F 2|，则点M 的轨迹不表示任何图形. （2）第二定义（比值定义）：e dMF =||，其中d 表示点M 到定直线的距离. 31.9（1）几个“不变”的量：中心到准线的距离为c a ，两准线间的距离为ca 2，焦点到相应准线的距离为c c a -2，焦点到相对准线的距离为c ca +2，长轴顶点到相应准线的距离为a c a -2，长轴顶点到相对准线的距离为a ca +2，焦点到相应顶点的距离为c a -，焦点到相对顶点的距离为c a +.（2）求椭圆标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为)0,0(122>>=+n m ny mx .（3）椭圆的参数方程：（掌握推导方法）①)0(12222>>=+b a b y a x ：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） ②)0(12222>>=+b a a y b x ：⎩⎨⎧==θθsin cos a y b x （θ为参数） 说明：参数θ叫做椭圆的离心角，椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同，且θαtan tan ab=. 32.（1）在椭圆12222=+b y a x 的焦三角形△F 1PF 2中， 设∠F 1PF 2=θ，则：面积bc b S ≤=2tan2θ；周长（2）椭圆中，AB 过点焦点F 1，则△ABF 2的周长等于（3）在椭圆12222=+by a x 的焦三角形△F 1PF 2中，张角θ当且仅当点P 为椭圆的短轴端点时最大.（4）椭圆中过长轴端点的最大弦为长轴；过短轴端点的最大弦的情况为：当离心率)1,22(∈e ，即b a 2>时，长为ca 2，当离心率]22,0(∈e ，即b a 2≤时，长为短轴长b 2.33.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦半径公式：01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，其中F 1为左焦点，F 2为右焦点，P （x 0，y 0）.特别的，（1）椭圆上的动点P 到某一焦点F 的距离d=|PF|有：|PF|max =a+c ，|PF|min =a-c （即点P 为椭圆长轴上的顶点）.（2）椭圆的通径等于ab 22（通径：过焦点且垂直于焦点所在的对称轴的焦点弦）（3）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左焦点的焦点弦为AB ，则)(221x x e a AB ++=，过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=.34.点与椭圆的位置关系：点P （x 0，y 0），椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x （1）点P 在椭圆C 内1220220<+⇔b y a x . （2）点P 在椭圆C 上1220220=+⇔b y a x . （3）点P 在椭圆C 外1220220>+⇔by a x .35.椭圆系：（1）具有相同离心率的标准椭圆系的方程为)0(2222>=+λλby a x 或)0(2222>=+λλay b x . （2）共焦点的椭圆系的方程为1222=++m y cm x 0(>m ，c 为半焦距）. 36.直线与椭圆的位置关系：直线l 的方程：y=kx+b ，椭圆C 的方程：12222=+by a x .由直线方程和椭圆方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与椭圆相交⇔△>0. （2）直线与椭圆相切⇔△=0. （3）直线与椭圆相离⇔△<0.相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. 附：椭圆的切线方程：（1）椭圆12222=+by a x 上一点P （x 0，y 0（2）过椭圆12222=+by a x 外一点P （x 0，y 0）所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆12222=+by a x 与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222C b B a A =+.37.双曲线的定义：（1）第一定义（距离定义）：| |MF 1|-|MF 2| |=2a （0<2a<|F 1F 2|）注意：若2a=|F 1F 2|，则点M 的轨迹是两条射线；若2a>|F 1F 2|，则点M 的轨迹不表示任何图形. （2）第二定义（比值定义）：e dMF =||，其中d 表示点M 到定直线的距离. 38.（1的距离为c a a 2-，顶点到相对准线的距离为ca a 2+，焦点到相应顶点的距离为a c -，焦点到相对顶点的距离为a c +.（2）求双曲线标准方程的技巧：在未知焦点落在哪个坐标轴上时可设方程为)0(122<=+mn ny mx 或)0(122>=-mn ny mx .39.（1）在双曲线12222=-by a x 的焦三角形△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=θ，则面积2cot 2θb S =.（2）双曲线12222=-b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为b.40.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦半径公式：（掌握推导过程）（1）若点P 在右支上，则a ex PF +=01||，a ex PF -=02||；（2）若点P 在左支上，则)(||01a ex PF +-=，)(||02a ex PF --=. 其中F 1为左焦点，F 2为右焦点，P （x 0，y 0）.特别的，双曲线的通径等于ab 22.41.点与双曲线的位置关系：点P （x 0，y 0），双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x （1）点P 在双曲线C 内1220220>-⇔b y a x . （2）点P 在双曲线C 上1220220=-⇔b y a x . （3）点P 在双曲线C 外1220220<-⇔by a x .42.双曲线的方程与渐近线方程的关系：（1）若双曲线方程为12222=-by a x ，则渐近线方程为02222=-b y a x ，即x a by ±=.（2）若渐近线方程为x a b y ±=，即0=±bya x ，则双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 43.特殊双曲线：（1）等轴双曲线：实轴和虚轴长相等的双曲线，即a =222性质：两条渐近线方程为x y ±=且互相垂直；=e （2即12222=-by a x 与12222-=-b y a x .13若设它们的离心率分别为1e 、2e ，则2221≥+e e 且1112221=+e e . 共轭双曲线有相等的焦距，四个焦点共圆.44.双曲线系：（重点掌握方法、思路）（1）具有相同焦点的标准双曲线系的方程为)0(12222c k kc y k x <<=-- . （2）与椭圆12222=+by a x 共焦点的双曲线系方程为)(1222222a b b y a x <<=-+-λλλ. （3）若双曲线与12222=-b y a x 有相同的渐近线，则可设为λ=-2222b y a x .（4）若双曲线与12222=-b y a x 有相同的离心率，则可设为λ=-2222by a x 或)0(2222>=-λλbx a y 两种情形. 45.直线与双曲线的位置关系：直线l 的方程：y=kx+b ，双曲线C 的方程：12222=-by a x .由直线方程和双曲线方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与双曲线相交⇔△>0. （2）直线与双曲线相切⇔△=0. （3）直线与双曲线相离⇔△<0.注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与双曲线只有一个交点，但不是相切，而是直线与渐近线平行.因此，直线与双曲线相交时，一定要注意直线与渐近线的关系.设直线l 的倾斜角为θ，斜率为正的渐近线的倾斜角为α：如图（1），θ=α时，直线l 只与双曲线的一支相交，交点只有一个； 如图（2），θ>α时，直线l 只与双曲线的一支相交，交点有两个； 如图（3），θ<α时，直线l 与双曲线的两支都相交，交点两个，每支一个. 特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入双曲线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子.（“点差法”）附：双曲线的切线方程：（1）双曲线12222=-by a x 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线12222=-by a x 外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线12222=-by a x 与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222C b B a A =-.46.抛物线的定义：1||==e dPF .到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线. 注：定点必须不在定直线上，否则轨迹是一条直线. 47.抛物线的标准方程及其几何性质：)0(>p （1）几个“不变”的量：焦点到准线的距离为p 到顶点的距离为2p . （2）对于抛物线)0(22>=p px y 上的点的坐标可设为15其他类似.（3）焦半径公式：设P ),(00y x 为抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为焦点，则2||0p x PF +=；)0(22<=p px y 上任意一点，F 为焦点，则2||0p x PF +-=. 48.抛物线的焦点弦公式及其他重要结论：（1）过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦AB 的长度p x x AB ++=21||或p pAB 2sin 2||2≥=α； （2）抛物线的通径长为p 2.（3）4221p x x =⋅，221p y y -=⋅；（4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）pFB FA 2||1||1=+； （6）焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900.其中，点),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线上不同的两点，F 是抛物线的焦点，α是弦AB 的倾斜角.49.点与抛物线的位置关系：（1）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.（2）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. （3）点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. （4）点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 50.直线与抛物线的位置关系：直线l 的方程：y=kx+b ，抛物线C 的方程：22(0)y px p =>.由直线方程和抛物线方程联立，消y （以此为例），得到一个关于x 的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0，其判别式为△. （1）直线与抛物线相交⇔△>0. （2）直线与抛物线相切⇔△=0. （3）直线与抛物线相离⇔△<0.注意：方程组消元后可能出现二次项系数为0的方程，此时直线与抛物线只有一个交点，但不是相切，而是直线与抛物线的对称轴平行.特别的，相交时，若题中提到中点，可设两个交点的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理可得一个既有直线斜率又有中点坐标的式子. （“点差法”）涉及直线与抛物线的有关问题求解时，一要注意直线斜率是否存在，并分类讨论解决；二要注意焦半径公式和韦达定理的应用.附：抛物线的切线方程（1）抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 51.圆锥曲线的对称问题：（1）曲线0),(=y x f 关于点),(00y x P 成中心对称的曲线是0)2,2(00=--y y x x f .（2）二次曲线0),(=y x f 以定点),(b a M 为中点的弦所在的直线方程为),()2,2(y x f y b x a f =--.（3）二次曲线0),(=y x f 关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是0),(=+-+-BC Ax A C By f .52.几个定值：（1）椭圆：①椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和椭圆中心连线的斜率之积为定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22ba -；②椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点与椭圆长轴的两端点连线斜率乘积是定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22b a -；③椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点与椭圆短轴的两端点连线斜率乘积是定值22a b -，若焦点在y 轴上，则定值为22ba -；（2）双曲线：①双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和双曲线中心连线的斜率之积为定值22a b ，若焦点在y 轴上，则定值为22ba ；②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的连线的斜率乘积是定值22a b ，若焦点在y ③双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x17交y 轴于M 、N 两点，则|OM||ON|=2b -，若焦点在y 轴上，则|OM||ON|=2b -；④M 、N 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若PM 、PN 斜率都存在，则它们的斜率之积为定值22ab ，若焦点在y 轴上，则定值为22ba .（3）抛物线：抛物线)0(22≠=p px y 有212y y pk AB +=，其中1y 、2y 为A 、B 的纵坐标.53.曲线A 2x +B 2y =C 表示哪些曲线？在待定系数A 、B 、C 满足一定的条件下，曲线可以表示点、直线、圆、椭圆、双曲线.54.求轨迹方程（或轨迹）的常用方法：（1）直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替此等式，化简得曲线得方程，即0),(=y x f . （2）定义法（待定系数法）：利用所学过的直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义直接写出所求动点的轨迹方程.（3）代入法（相关点法）：若动点P ),(y x 随已知曲线上的点Q ),(00y x 的变动而变动，且0x 、0y 可用x 、y 表示，则将点Q 的坐标代入已知曲线方程，即得到点P 的轨迹方程.（4）参数法：选取适当参数，分别用参数表示动点坐标),(y x ，得出轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程.（5）几何法：动点的几何特征与平面几何的定理有着直接或间接的联系，且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后即可得所求轨迹方程.用此法的关键在于所求轨迹的几何条件与平面几何知识的紧密结合.（6）交轨法：如果所求轨迹是由两条动曲线的交点所得，恰当地引进一个参数，写出两条动曲线地方程，消去参数，即得所求地轨迹方程.。