１ 复 与 实 类 比
复变 函数 论作 为实 变 函数 的后继 课 程 ， 是 复 变 函数 的继 续 和发展 。复变 函数 论 的许 多概 念 和定 理 都 与 实变 函数 相应 理 论 类 似 ， 但 又 有 发 展 。例 如 复
似 定 理， ∑ （ ｚ ） 在某区间 上既 使一致收 敛， 且各
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１ ６ ３・
张芳 ， 等： 复 变函数 与高等 数 学的一 些类 比 立 ！这样 组 织 教 学 既 活跃 了课 堂 ， 调 动 了学生 利 用 设 函数 － 厂 （ ）＝ （ ， Ｙ ）＋ｉ ｖ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｄ内确 定 ，那么 － 厂 （ ｚ ）在点 ｚ＝ ＋ｉ ｙ ∈Ｄ可微 的充要 条件
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ４ —１ ０ ６ 基金项 目： 国家 自然科学基金 （ １ ０ ９ ７ １ １ ７ ９ ） ； 常州大学大学数学 团队项 目（ Ｊ Ｘ Ｔ ０ ９ ０ ２ ０ ０ ０ ７ ） 。
作者简 介 ： 张芳 （ １ ９ ８ １一 ） ， 女， 江苏高邮人 ， 硕士， 讲师 ， 研究 方向为应用泛 函分析 。
第１ ５卷 第 ４期
重庆科 技 学 院学报 （自然 科学 版 ）
２ ０ １ ３年 ８月
复 变 函数 与 高等 数 学 的一 些 类 比
张芳 王 峰
（ 常州大学数理学院， 江苏 常州 ２ １ ３ １ ６ ４）
摘 要： 结 合教学实践和类 比的经验及方法 ， 探讨复变 函数 和高 等数学 的一些 概念 和定 理的异同。
项可 导 ，也并 不 能保 证 可 逐 项 微 分 。由 此 ， 学 生 可 以 了解 区域 上 的解 析 函数 和 区间上 的可 微 函数 的本 质 区别 。
又如 ， 在讲初等函数时， 给出一种基本初等 函 变函数导数的概念 ， 形式上和实变函数 中一元 函数 数定义 ， 如Ｃ Ｏ Ｓ ， 然后讨论它与实变初等函数 Ｃ Ｏ Ｓ 导 数概 念 相 同 ，即 的关 系 。 当学生 弄清 了 Ｃ Ｏ Ｓ 。 限制 在实 轴上 即为 Ｃ Ｏ Ｓ ＝ 厂（ Ｚ ０ ）：ｌ ｉ ａ ｒ 丛型＿ ＿ 二 （ 复变 函数意义下） 时 ，我们 可 以引导学 生把 Ｃ Ｏ Ｓ 的性 质列 举 出来 ， 再 探讨 Ｃ Ｏ Ｓ 。是 否有 类 似 的性 质 。 由此 总 结 出把 余 弦 （ 。 ） ：ｌ ｉ ｍ 二 （ 实变 函数 意义 下 ） 如 Ｘ — Ｘ０ 函数拓 广 到复 平 面 后 ， 周期性 、 奇偶性、 零点 、 处 处 给出定义后 ， 可根据实数导数 的性质引导学生 可微 及 一 些 积 化 和 差 公 式 均 成 立 ，但 有 界 性 不 成
见 复变 函数 的重要 性 。相 关 教 材 可 参 考 文献 ［ １ ］ 一
以在复平面上沿任何方向或任何 曲线趋 向于 ， 而
只能沿 实数 轴从 。 左右 两边 趋于 。 ， 可见 一 与 — 。 趋 近 的方式是 有 差别 的 ，由此导 致 了更 大 的
差别。
［ ３ ］ ， 有关复变 函数课 程教学心得方 面可参见文献 例 如 ，复变 函数 ． 厂 （ ｚ ）＝Ｒ ｅ ｚ 在 复平 面上处 处 不 ［ ４ ］ 、 ［ ５ ］ 。 可导 ， 但将其限制在实数范 围内时就是． 厂 （ ）＝ ， 类 比方 法是 一种 创造 性 的 思路 方 法 ， 类 比 的过 这 就是处 处 可导 的 函数 。关 于一致 收 敛 级数 和 函数 程是培养学生创造性思维的过程。复变 函数论有着 本 学科 独 立 的 、 完 整 的体 系 和 内容 ，与 实 变 函数 之
从 有 限到无 限 、 从 静止 到运 动 ， 这 是 质 的 飞跃 ，
地使用类 比法 ， 引导学生进行某 种类 比， 可 以起 到 承前启后 、 加 深对新知识 的理解和认识。下面我们 给出复变函数论教学过程 中使用的几种类比。
பைடு நூலகம்
在区域 Ｄ内解析，∑． （ ｚ ） 在 Ｄ中内闭一致连续，
则在 Ｄ 内可 以逐 项 求导 任 意次 ； 但 实 变 函数 中的类
是 在点 ＝Ｘ＋ ｙ ， 二元 函数 Ｍ （ ， Ｙ ） ， （ ， Ｙ ）可微且
满足
ａ ａ — — 一 ｘ ａ ａ ｖ ａ — — 一 ａ — ａ — 一 ％
已有知识探索新知识的积极性 ， 又逐步熟悉 了类 比
思 维方 法 。
２ 无 限与有 限的类 比
间 又有着 有 机 的联 系 。在 复 变 函数 的教 学 中 ，合 理 的性 质 、 连续 性 、 逐 项可 积性 定 理 ， 复 变 函数 与 实变 函数 可 以说没 什 么差别 ， 但 逐 项可 微 的外 尔斯 特拉 斯（ Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ ） 定理 却不 同 。复变 函数 只 要求 （ ｚ ）
文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３—１ ９ ８ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ １ ６ ３— ０ ２
关键词 ： 复变函数 ； 高等数学 ； 类 比
中图分类号 ： Ｏ ２ １ １
为了使方程 ＋１＝０ 有解 ， 也使 复数能够开 猜 测 出复变 函数 导数 的一 些平 行 性 质 ，再 去 给 以推 平方 ， 人们引进 了虚数单位 ｉ ， 从 而有了复数。随 导 证 明进行 验证 。 通 过类 比使 学 生 掌握 它们 之 间 的 着复变 函数理论 的建立 ， 它逐渐渗透到许多数学分 相 似之处 ， 然 后再 给 出它们 的不 同之 处 。 ｚ 趋 于 可 支， 在热力学 、 流体力学、 电学等方面得到了广泛 的 应用。 正如著名数学 家陈省 身所说“ 没有复数 ， 就 没 有 电学 ；没有 电 学 ，就 没 有 现 代 文 明 ” 。 由此 可