第四章p坐标，铅直坐标变换习题答案1、试说明静力平衡大气中气压场与温度场之间的关系、等压面高度与温度的关系。

?答：（1）气压场与温度场之间的关系如下：在铅直方向，等压面之间的厚度完全决定于两等压面之间的温度铅直分布。

（2）等压面的高度与平均温成正比，平均温度越高等压面越高，反之等压面高度愈低。

2、什么是等高面图，什么是等压面图? 采用等压面图分析气压形势的依据是什么？答：（1）在一张特制的地图（称天气底图）上，填写各测站上空某一确定高度上探测到气压值，并按一定的气压间隔（如间隔2。

5hpa或间隔5hpa）分析等压线，便得到一张等高面气压形势图，即等高面图。

实际天气预报业务工作中只分析海平面（z=0）气压形势图，并俗称地面图。

（2）等压面分析是以一个确定的等压面作为分析对象。

将不同高度的等高面与空间一确定的等压面相截，相截的曲线就是等压面上高度相等的连线-----等高线，将各等高线投影在天气底图上，这就是该等压面的绝对形势图，通常称等压面图。

（3）采用等压面分析气压形势的依据是：大气在相当程度上满足静力平衡，在此平衡基础上，气压和高度之间存在确定的函数关系，所以等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。

3、如何理解等压面图上分析的等高线也是等压线? 如何理解等压面图上分析的等温线，也是等位温线、等密度线、等饱和比湿线。

答：（1）大气在相当程度上满足静力平衡，在此平衡基础上，气压和高度之间存在确定的函数关系，所以等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。

（2）位温公式的定义，（3）状态方程（4）饱和比湿的定义4、为什么说等压面图上等高线愈密集地区水平气压梯度力愈大。

等压面上存在的高度形势与等高面上描绘的气压形势有很好的对应关系。

等压面图上等高线越密集说明在相同的高度内气压变化的就越大，也就是说气压梯度就越大。

5、分别说明建立p坐标系和θ坐标系的物理条件。

答：（1）（2）6、p坐标系的优点有哪些，不足之处是什么？答：（1）（2）7、б坐标系的优点有哪些?有什么不足之处?答：（1）坐标的优点：σ坐标实际上是一种修正的p坐标系，它的突出优点是下σ=的坐标面，边界变得十分简单（为齐次边界条件）。

边界面为1（2）σ坐标的不足：σ坐标中的水平运动方程变得复杂，气压梯度变为两项之差，在地形陡峭的地方是两个小量的差，难于计算准确。

证：(1)由z 坐标连续方程可得,利用（1）热力学方程得到，利用（1）的静力平衡方程，再利用连续性方程证毕。

ln ln p v pRT g z p c d p d dt c dt ρ∂⎧=-⎪∂⎪⎨⎪=⎪⎩ 静力平衡 绝热2222220ln 0ln RRR d W V dt z d W V dt z W d V z dt ρρρρρ∂+∇•+=∂∂+∇•+=∂∂=--∇•∂2233211[]v Rp p v R p v c W dp V z c p dt c c W p V P p V z c p t c ∂=--∇•∂∂∂=--•∇-∇•∂∂3323323321[()]1[()]1[]p v R p v zp v R p v z p v R p v z c c W V P p V gdz z c p c t c c W V P p V g dz z c p c t c c W V P p V g dz z c p c t ρρρ∞∞∞∂∂=-•∇-∇•-∂∂∂∂=-•∇-∇•-∂∂∂∂=-•∇-∇•-∂∂⎰⎰⎰332331[()]p v R p vz c c W V P p V g V dz z c p c ρ∞∂=-•∇-∇•+∇•∂⎰9、证明p坐标下水平运动方程变形。

证：p坐标下的水平运动方程是，展开得到①②p坐标下的连续方程是，③将连续方程③×u+①在利用求导公式得⑤，同理连续方程③×v+①在利用求导公式得⑥⑤⑥证毕。

10、证明p坐标下水平运动方程变形。

证：p坐标下的水平运动方程是，p pdufvdt x∂Φ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ppu u u uu v fvt x y p xω⎛⎫∂∂∂∂∂Φ⎛⎫+++=-+⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭p pv v v vu v fut x y p yω⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂Φ+++=--⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭pu vx y pω⎛⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎝⎭2ppu u uv ufvt x y p xω⎛⎫∂∂∂∂∂Φ⎛⎫+++=-+⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2ppv vu v vfut x y p yω⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂Φ+++=--⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭p pdvfudt y⎛⎫∂Φ⎛⎫=--⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭p pdufvdt x∂Φ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭p pdvfudt y⎛⎫∂Φ⎛⎫=--⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭展开得到①②p 坐标下的连续方程是，③将连续方程③×u ，③×v 分别加到①，②中得到 ⑤ ⑥⑤两边同时减去 ，⑥两边同时减去整理得到pp u u u u u v fv t x y p x ω⎛⎫∂∂∂∂∂Φ⎛⎫+++=-+⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭p p v v v v u v fu t x y p y ω⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂Φ+++=-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭0p u v x y p ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭p pu u u u u v u v u u u fv t x y p x y p x ωω⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂Φ⎛⎫++++++=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭p pv v v v u v u v v v v fu t x y p x y p y ωω⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂Φ++++++=-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭vv x ∂∂u uy∂∂2()2p pu u u v u u v v v v u u fv v t x y x p x y x x ω⎛⎫∂ ⎪∂∂∂∂∂∂∂Φ∂⎛⎫++-+++=-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭2()2p pv v v v u v u u u v v u fu u t y p x x y y y y ω⎛⎫∂ ⎪⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂Φ∂+++++-=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭证毕。

11、证：由 的定义有，利用静力平衡公式有，则将连续方程变形两边积分有，根据偏导公式和转换方程有，将上述代入原方程有，()pv v P f u v t p y ωζδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂++++=- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭()p u u P f v u tp x ωζδ⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+++=- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭ωdp p pV p w dt t z ω∂∂==+•∇+∂∂pg zρ∂=-∂p V p gw t ρω∂=-•∇+-∂0p V P ω∂∇•+=∂p V Pω∂=-∇•∂0pp VdPω=⎰∇•[()()][()()]z z p p p p zp z p V p V i j V i j V x y xz y zρ∂∂∂∂∂∂•∇=•+=•--=•∇Φ∂∂∂∂∂∂证毕证：由得由 代入上述结果有：展开合并同类项得0pp p p p V gw VdP tρρ∂=-•∇Φ+-⎰∇•∂ln p δθσα∂=-∂ln ln ln pRT p C c θ=-+11p T R T p c pδσαα∂=-+∂p RT ρ=P T R ρ=111()p R P R P R R p c p δρρσααρ∂=-++∂221(1)pR P P c δσα∂Φ=--∂Pα∂Φ=-∂221(1)pRP P P c δσ∂Φ∂Φ=--∂∂1ln P p P ∂Φ∂Φ=∂∂211()(1)ln ln pR P P P P P c δσ∂∂Φ∂Φ=--∂∂∂整理得到证毕。

证：p 坐标下的水平运动方程是：其中根据坐标转换关系有：所以 而从而得到p dVf k V dt+⨯=-∇Φpd V dt t p ω∂∂⎛⎫=+•∇+ ⎪∂∂⎝⎭F F pz p z∂∂∂=∂∂∂F F z p z p **∂∂∂=∂∂∂0ln p H p z p p*⎛⎫∂- ⎪∂⎝⎭=∂∂0ln p H p z H p z p z p p ωωωω***⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭===-∂∂∂∂∂2211()ln ln ln p RP P P P P c δσ∂∂Φ∂Φ=-∂∂∂21()ln ln p R P P c Pδσ∂∂Φ=-∂∂对于水平梯度有：因此得到证毕。

证：p 坐标下的静力方程是：p 坐标下的连续方程是：由题意知 所以带入连续方程整理得到：zp p z x y x y **⎛⎫⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ-∇Φ=-+=-+=-∇Φ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭z dV f k V dt *+⨯=-∇Φz d V w dt t z ***∂∂⎛⎫=+•∇+ ⎪∂∂⎝⎭RT p p α∂Φ=-=-∂1p RT p RT p RTz p z p z p H H-***∂Φ∂Φ∂∂⎛⎫⎛⎫==-=--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭0u v x y pω∂∂∂++=∂∂∂pwp w w H p p H p Hω***∂-∂∂==--∂∂∂pw H ω*=-p w p w z w H p H z p z ******∂∂∂∂-=-=∂∂∂∂()0z u v w w x y z H ****∂∂∂++-=∂∂∂证毕。

证：在对数压力坐标中对于天气尺度来说有第一近似： 而带入证毕。

证：p 坐标下的热力学能量方程是： 其中所以第四项有： 而带入整理得到：其中证毕。

gw ωρ=-dz H w dt p ω**==-0RT H g=00()H H gw RT gw RT gw ww p p g p g RTωρρρρ*---pw H ω*=-p p T T T Q u v S t x y c ω•∂∂∂++-=∂∂∂ln ()()p d p RT RT g TS T p pg pg c zθγγ∂∂=-=-=-∂∂()p p RT g T S pg c z ωω∂-=--∂()T T z p T Hg z z p z z p ρ***∂∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂p T T RT z z c Hθθ**∂∂Γ==+∂∂()z p T T T Q u v w t x y c *•*∂∂∂+++Γ=∂∂∂。