【知识要点】
一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．
数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．
数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．
二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．
三、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义.
（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =（注意确定函数的定义域）；
（3）求函数的导数)(/
x f ，解方程0)(/
=x f ；
（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使0)(/
=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
如果函数的定义域不是闭区间，0)(/
=x f 又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.
五、解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
六、解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．
【方法讲评】
、、、四种不同的【例1】某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A B C D
设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划
期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3
元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？
【解析】设计划期内生产甲x 件，生产乙y 件，
则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+00124164821222y x y x y x y x 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+0
034826
y x y x y x y x
【点评】 （1）线性规划的问题要严格按照基础知识里的步骤解答，列线性约束条件，要全面不要遗漏.（2）
线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程，所以解答时要解释清楚.
【反馈检测1】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(420v ≤≤)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x y 、小时.(1)作图表示满足上述条件x y 、的范围；(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+- (元)，那么v w 、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()(010),35
k
C x x x =
≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式.
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.
（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-
+，令'()0f x =，即2
2400
6(35)
x =+.
【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数()f x 的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.
【反馈检测2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
812800080
y x x =
-+
(0120)x <≤已知甲、乙两地相距100千米.
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第12讲： 函数（线性目标函数和综合函数）模型及其应用参考答案
【反馈检测1答案】（1）见下图；（2）10x =,12.5v =,30w =,p 的最小值为93元. 【反馈检测1详细解析】(1) 由题意得：50v y =
,300
w x
=,420v ≤≤,30≤w ≤100, ∴310x ≤≤,5252
2
y ≤≤.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x y +应在9至14小时之间，即9≤x y
+≤14,②
因此满足①②的点(,)x y 的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
【反馈检测2答案】（1）从甲地到乙地要耗油17.5升；（2）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.
【反馈检测2详细解析】（1）若40x =千米/小时，每小时耗油量为7y =升/小时. 共耗油100
717.540
⨯=升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.
（2）设当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，()0120x <≤，耗油量为S 升. 则
3
2100131800158128000801280
4S x x x x x ⎛⎫=
-+=+- ⎪⎝⎭， 2
1800'640S x x =-， 令'0S =，解得，80x =. 列表：
所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.。