sin 0.36 0.3522787 ，用线性插值及抛物插值 计算 sin( 0.3367 )
解 由题意取
x0 0.32, y0 0.314567 , x1 0.34, y1 0.333487 , x2 0.36, y 2 0.352274 .
用线性插值计算，取 x0=0.32、x1=0.34
* 处的插值 y . xi )
x0 x1 xn b),
这些点可视为由 y=f(x)产生，但f表 达式复杂，或根 本无法提供
18
x (

y1 y0
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y
*




x0 x1 x*
xn
求解插值问题的基本思路
构造一个相对简单的函数
y g ( x ), 通过全部点，即
插值基函数满足条件 k ( xk ) 1, k ( x j ) 0
k 1 ( x )
1
j k 1, k 1
基 函 数 的 图 形
k ( x )
k 1 ( x ) k 1
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n >2时，插值多项式
pn ( x) k ( x) f ( xk )
该多项式满足：
p ( x0 ) f
(i ) n
(i )
( x0 )
i 0,1, , n
Taylor插值的特点：原理简单，但要求插值函数p(x)与所逼
近的函数f(x)在展开点x0处具有相同的直到n阶的导数值
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Lagrange 插值
线性插值(n=1)：假定给定区间[xk,xk+1]及端点的函数值
i 0
7
定义1：称近似关系式
f ( x) i yi 具有m阶
i 0
n
精度，如果它对于次数≤m的多项式均能准确成 立 特别地，当y＝1时，
n

i 0
i
1。所以，插值方法
是平均化的过程，故称为插值平均
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8
插值的几何意义
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9
2. Lagrange（拉格朗日）插值公式

两点插值：

y 0 y0 1 y1 x x0 x x1 y0 y1 插值公式 y x0 x1 x1 x0 三点插值：
形式
y 0 y0 1 y1 2 y2 形式 插值公式

( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
1
k 1 ( x)
k ( xk 1 ) 0; k 1 xk 1 1.
k ( x)
0
xk
x k 1
25
同理，当 n=2 时，即利用二次插值基函数立即得到二次 插值多项式
p 2 ( x ) k （ 1 x） f ( x k 1 ) k ( x ) f ( x k ) k 1 ( x ) f ( x k 1 )
如果插值函数为分段多项式，就称为分段插值，如
果为三角多项式，就称为三角插值
本章只讨论代数插值和分段插值
我们的问题是如何确定
p n ( x ) 0 1 x 2 x ... n x
2
n
?
进而求得
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y pn ( x )
* *
21
事实上，方程组的解λ0, λ1, …, λn存在且唯一。解出λi (i=0, 1, 2, …, n)， pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y12 y23 y34
•••
y02 y13 y24
•••
y03 y14
•••
y04
•••
•••
•••
xn yn
yn-1,n yn-2,n yn-3,n yn-4,n
y0,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
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… 1点插值
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小结：
Aitken 算法和 Neville 算法是逐步插值的两种 基本形式 共同特点：都是将高阶插值逐步归结为线性
插值（最简单、最基本）的重复
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17
4. 插值逼近
问题的提出
已知 n+1个点
*
互不相同，不妨设 a 求任一插值点
( xi , yi ) (i 0,1, n, 其中 xi
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例：利用100、121和144开平方值计算 115
解： 令 y x ，利用三点Lagrange公式
y 0 y0 1 y1 2 y2
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
得
sin 0.3367 p1 (0.3367 )
y1 y0 y0 (0.3367 x0 ) x1 x0
0.01892 0.314567 0.0167 0.330365 0.02
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用抛物插值计算sin 0.3367时，
( x x1 )( x x2 ) sin 0.3367 y0 ( x0 x1 )( x0 x2 )

插值公式
x x0 x x1 y01 y0 y1 x0 x1 x1 x0 x x0 x x2 y02 y0 y2 x0 x2 x2 x0
以(x1, y01), (x2, y02)作为节点构造两点插值公式：
x x2 x x1 y12 y01 y02 x1 x2 x2 x1
插值方法是逼近方法的一种
如果要求逼近函数 g(x) 与其所逼近的函数 f(x) 在
若干节点上取相同的离散信息（函数值、导数
值），这种逼近方法称为插值方法，逼近函数
g(x)称为插值函数
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如果限定插值函数为代数多项式 pn(x)。这类插值方
法称为代数插值，相应的插值函数称为插值多项式
k 0
n
插值基函数
k ( x)
j 0 j k
n
x xj xk x j
k 0,1,, n
优点: 结构紧凑,
理论分析方便
缺点 : 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变， 即节点增加，基函数失效
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例
已给 sin 0.32 0.314567 ， sin 0.34 0.333487 ,
g ( xi ) yi (i 0,1, n )
再用 g ( x) 计算插值，即
y g ( x ).
* *
y1 y0
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y
*




x0 x1 x*
xn
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插值与逼近
上述过程就是逼近过程，上述方法就称为逼近 方法，即构造一个简单函数 g(x) 作为 f(x) 的近似 ，然后通过处理g(x)获得关于f(x)所要的结果
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
p 2 (0.3367 ) 0.330374
这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。
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13
Aitken逐步插值算法：
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y02 y03 y04
y12 y13 y14 y1n
•••
y23 y24 y2n
•••
y34
y3n
•••
xn yn
y0n
•••
•••
•••
yn-1,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
有足够精度的插值结果y
xi 称为插值节点，所要插值的点x称为插值点
现在的考虑：能否通过对表中数据进行适当的加权
平均来得到想要的插值结果？即用y来近似f(x)
f ( x) y ，其中 y i yi i f ( xi )
可以，关键在于λi的选取
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n
n
i 0
研究科学问题的求解方法和过程设计
科学问题 模型建立
计算方法和算法设计
程序语言 结论展示或集成系统 研究内容
主要内容
1 插值平均 3
2 Lagrange插值公式
3 Aitken逐步插值算法
4 插值逼近
5 分段插值 3 6
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样条插值
7 曲线拟合的最小二乘法 3
4
实例1
查 函 数 表
sinx
第一讲
插值方法
讲者介绍:袁玉波
1997-2000在 兰州大学，学 士和硕士。 2000-2003在 西安交通大学 ，博士。
2003-2011电子 科技大学，数学 学院教学
2012至今 华东理工 大学。
1976年出生 于云南宣威 ，乌蒙山。
计算方法的研究目标：
信息安全； 云计算； 大数据； 物联网； 决策支持等