2009年上海市普通高等学校秋季招生考试数 学 模 拟 试 卷（2009.3）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、座位号、校验码等填写清楚. 2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟. 3.本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何．．．．．．．．．．．．．．．．．．解答都不作评分依据．．．．．．．．．。

一. 填空题 (本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分. 1．已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-＝______________。

2．方程2lg lg(32)0x x --=的解集是 。

3．若Z 为复数，且i z i z i -++-=-1)2()31(，则=z ___________。

4．以椭圆1522=+y x 中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______________。

5．底面边长为2，侧棱长为4的正三棱锥的体积是 ．6．（文）若向量a 与b 的夹角为60，1a b ==，则()a ab •-= ．（理）已知两个非零向量a 与b 的夹角为3π，2a =，3b =，若→→+b t a ()R t ∈的模为3，则实数t 的值是 ．7．工业博览会期间，有6辆不同型号的新型轿车排成2行3列的展出，其中有2辆轿车来自大众汽车集团公司，则此2辆轿车前后或左右相邻的概率为___________。

（用分数表示）8．若数列{}n a 中，*,2122N n n n a n ∈++=，则数列{}n a 中的项的最小值为_________． 9．（文）设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点),(y x P 到直线10=+y x 距离的最大值是 。

（理）设常数42)1(,0xax a +>展开式中3x 的系数为23，则=+++∞→)(lim 2n n a a a __ ___。

10．已知函数2()f x x x =-，若()()3log 1(2)f m f +<，则实数m 的取值范围是 ．11．抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++ (n ∈N *)，交x 轴于,n n A B 两点，则11223320092009||||||||A B A B A B A B ++++值为____ _______二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 12．若sin 0,sin 20θθ<>且，则角θ的终边所在象限是（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限13．条件甲：0a b >>，条件乙：11a b<，则甲是乙成立的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知P 是椭圆13y 4x 22=+上的点,21F ,F 是两个焦点,则21PF PF ⋅的最大值与最小值之差是( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）415．设S 是至少含有两个元素的集合.在S 上定义了一个二元运算“＊”（即对任意的S b ,a ∈，对于有序元素对()b ,a ，在S 中有唯一确定的元素a ＊b 与之对应）。

若对任意的S b ,a ∈， 有a ＊(b ＊a )=b ，则对任意的S b ,a ∈，下列等式中不恒．．成立．．的是 （ ） （A ）b ＊(b ＊b )=b （B ）(a ＊b )＊a =a （C ）[a ＊(b ＊a )]＊(a ＊b )=a （D ）(a ＊b )＊b [＊(a ＊b )]=b 三、解答题（本大题满分79分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16．（本题满分12分）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）A BCDA 1B 1C 1FED 117．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数)sin()(ϕω+=x x f (其中2,0πϕω<>),x x g 2sin 2)(=.若函数)(x f y =的图像与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且直线6π=x 是函数)(x f y =图像的一条对称轴.(1)求)(x f y =的表达式.(2)求函数)()()(x g x f x h +=的单调递增区间.18. （本题满分15分，第1小题7分，第2小题8分）在4月份，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装仅销售出10件，第二天售出35件，第三天销售60件，然后，每天售出的件数分别递增25件，直到日销售量达到最大后，每天销售的件数分别递减15件，到月底该服装共销售出4335件． （1）问4月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装超过2000件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，并低于150件时，则流行消失，问该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由。

19. （本题满分16分，第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）双曲线1:2222=-by a x C 上一点)3,2(到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设21,F F 是双曲线的左右焦点，P 是双曲线上的点，若6||||21=+PF PF ，求21F PF ∆的面积；（3）过()2,0-作直线l 交双曲线C 于B A ,两点，若OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使OAPB 为矩形？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，函数()y f x =的反函数()1y f x -=能确定数列{}n b ，()1n b f n -=，若对于任意*n N ∈，都有n n a b =，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“自反数列”。

(1)若函数()11px f x x +=+确定数列{}n a 的自反数列为{}n b ，求{}n a 的通项公式； (2)在(1)条件下，记nx x x n 11121 ++为正数数列{}n x 的调和平均数，若211n n d a =-+，n S 为数列{}n d 的前n 项和，n H 为数列{}n S 的调和平均数，求nH nn ∞→lim ；(3)已知正数数列{}n C 的前n 项之和12n n n n T C C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

求n T 的表达式。

参考答案： 1. 45- 2. {}1,2 3．52 4．x y 42= 5．3112 6．（文）21（理）31-7．157 8． 4 9．（文）24（理）1 10．8(,8)9- 11．2009201012-15. C A A B16. （1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan ． 17. (1)由函数)x (f y =的图像与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π得函数周期为π, 2=∴ω 直线6x π=是函数)x (f y =图像的一条对称轴,1)62sin(±=ϕ+π⋅∴, 6k 2π+π=ϕ或67k 2π+π,)Z k (∈, 2π<ϕ , 6π=ϕ∴. )6x 2sin()x (f π+=∴. (2)1x 2cos )6x 2sin()x (h +-π+=1)6x 2sin(+π-= )Z k (2k 26x 22k 2∈π+π≤π-≤π-π∴, 即函数)x (h 的单调递增区间为)Z k (3k x 6k ∈π+π≤≤π-π. 18. （1）第n 天销售的件数为152525)1(10-=-+n n则4月30日的销售件数为4654025)30()1525(-=---n n n 则：4335]152)29)(30()46540)(30[(]252)1(10[=--+--+-+n n n n n n n 解得12=n ，即4月12日的销售量最大，其最大值为25×12-15=285（件） （2）12=n 时，200017702521112121012<=⨯⨯+⨯=S ，即未流行 13=n 时，200020402701770131213>=+=+=a S S即从4月13日起，社会开始流行．当13>n 时，n n a a n 1546515)13(13-=--=，令150<n a ，解得21>n 即从4月22日起，社会上流行消失，故流行的时间只有9天． 19. （1）122=-y x（2） 妨设P 在第一象限，则⎩⎨⎧==⇒=+=-2||,4||6||||2||||212121PF PF PF PF PF PF7,47sin ,43cos 121=∴=∠∴=∠∴∆S PF F PF F （3）若直线斜率存在，设为)2(+=x k y ，代入122=-y x 得)1(0144)1(2222±≠=----k k x k x k 若平行四边形OAPB 为矩形，则OB OA ⊥02121=+∴y y x x 01122=-+⇒k k 无解 若直线垂直x 轴，则)3,2(),3,2(--B A 不满足． 故不存在直线l ，使OAPB 为矩形． 20. 解：(1)由题意的：f –1(x )=p x x --1= f (x )=11++x px ，所以p = –1，所以a n =11++-n n (2) a n =11++-n n ，d n =112-+n a =n ， S n 为数列{d n }的前n 项和，S n =2)1(+n n ，又H n 为数列{S n }的调和平均数， H n =nS S S n 11121 ++=)1(2322212+++⨯+⨯n n n=2)1(+n n H n n ∞→lim =n n n 21lim +∞→=21(3)因为正数数列{c n }的前n 项之和T n =21(c n +n c n )，所以c 1=21(c 1+11c )，解之得：c 1=1，T 1=1当n ≥2时，c n = T n –T n –1，所以2T n = T n –T n –1 +1--n n T T n，T n +T n –1 =1--n n T T n ，即：212--n n T T = n ，所以，2221---n n T T = n –1，2322---n n T T = n –2，……，2122T T -=2，累加得：212T T n -=2+3+4+……+ n ， 2n T =1+2+3+4+……+ n =2)1(+n n ，T n =2)1(+n n。