2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅的取值范围 是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小 【解析】(1) 连11O B ，则111113AO A B B π∠==∴111O A B 为正三角形∴1113O A B S=∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π=∴3BC π=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

于是，菜 地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图(1) 求菜地内的分界线C 的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83。

设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于1S 面积的经验值【解析】(1) 设分界线上任一点为(,)x y ，依题意221(1)x x y +=-+可得2(01)y x x =≤≤(2) 设00(,)M x y ，则01y =∴200144y x ==∴设所表述的矩形面积为3S ，则315(1)422S ⨯+==设五边形EMOGH 面积为4S ，则43512113111144224OMPMGQS S SS=-+=-⨯⨯+⨯⨯= 13851326S S -=-=, 411181143126S S -=-=<∴五边形EOMGH 的面积更接近1S 的面积21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于,A B 两点(1) 若l 的倾斜角为2π，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程(2) 设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率【解析】(1)由已知1(F , 2F取x =2y b =122F F A =∵12F F =, 22F A b =∴2=即4222344(32)(2)0b b b b --=+-=∴b =∴渐近线方程为y =(2)若b 2213y x -= ∴1(2,0)F -, 2(2,0)F设11(,)A x y , 22(,)B x y ，则111(2,)F A x y =+, 122(2,)F B x y =+, 2121(,)AB x x y y =--∴111212(4,)F A F B x x y y +=+++222211212121()4()0F A F B AB x x x x y y +⋅=-+-+-= (*)∵22221212133y y x x -=-=∴222221213()y y x x -=- ∴代入(*)式，可得2221214()4()0x x x x -+-= 直线l 的斜率存在，故21x x ≠ ∴121x x +=-设直线l 为(2)y k x =-，代入2233x y -= 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=∴230k -≠，且4222164(3)(43)36(1)0k k k k ∆=+-+=+>2122413k x x k +=-=--∴23k =∴k =∴直线l 的斜率为22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+(1) 当5a =时，解不等式()0f x >(2) 若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围(3) 设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围【解析】(1)21log (5)0x +>151x ⇔+>410(41)0x x x x+⇔>⇔+> ∴不等式的解为{|0x x >或1}4x <-(2)依题意，221log ()log [(4)25]a a x a x+=-+-∴1(4)250a a x a x+=-+-> ① 可得2(4)(5)10a x a x -+--= 即(1)[(4)1]0x a x +--= ②当4a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立 当3a =时，方程②的解为1x =-，代入①式，成立当3a ≠且4a ≠时，方程②的解为11,4x a =--若1x =-为方程①的解，则110a a x+=->，即1a >若14x a =-为方程①的解，则1240a a x+=->，即2a >要使得方程①有且仅有一个解，则12a <≤综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为12a <≤或3a =或4a = (3)()f x 在[,1]t t +上单调递减 依题意，()(1)1f t f t -+≤即2211log ()log ()11a a t t +-+≤+ ∴112()1a a t t +≤++，即1211(1)t a t t t t -≥-=++设1t r -=，则1[0,]2r ∈21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+ 当102r <≤时，212323r r r r r=-++- ∵函数2y x x=+在递减∴219422r r +≥+=∴112293332r r ≤=+-- ∴a 的取值范围为23a ≥23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若无穷数列{}n a 满足：只要*(),p q a a p q ∈=N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P . (1) 若{}n a 具有性质P . 且11a =, 22a =, 43a =, 52a =, 67821a a a ++=，求3a ；(2) 若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由； (3) 设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a +=+*()n ∈N ，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”. 【解析】(1) 252a a ==∴36a a =∴473a a == ∴582a a ==∴6782116a a a =--= ∴316a =(2)设{}n b 的公差为d ，{}n c 的公差为q ，则0q > 51480b b d -== ∴20d =∴2019n b n =- 451181c q c == ∴13q =∴51()3n n c -=∴512019()3n n n n a b c n -=+=-+∵182a =, 582a =而2212748a =+=, 6130410133a =+=15a a =但62a a ≠故{}n a 不具有性质P(3) 充分性：若{}n b 为常数列，设n b C = 则1sin n n a C a +=+若存在,p q 使得p q a a =，则11sin sin p p q q a C a C a a ++=+=+=, 故{}n a 具有性质P必要性：若对任意1a ，{}n a 具有性质P 则211sin a b a =+设函数1()f x x b =-, ()sin g x x =由(),()f x g x 图像可得，对任意的1b ，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个1a ，使得111sin a b a -= ∴2111sin a b a a =+= ∴1n n a a +=故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-= ∴{}n b 是常数列。