解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B


U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)


q
4π0


(r
2

2dr
1
cos

d
)2 1/ 2

(d
2r2

a
2dra2 cos

a4 )1/ 2

导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q

1
b1

a12 d1
q1
q1


a1 d1
q1
d1
b1
➢
球壳内区域任一点电位为
内

q
4π 0


(r
2

2d1r
1
cos

d12 )1/ 2

1/
2

x 2

y2
1 (z

d
)2
1/ 2

上半空间的电场强度：
v
E
Ex

q 4π0
x2

y2

x (z

d )2
3/2


x 2

y2

x (z

d )2
3/2


Ey

q 4π0
x2
➢根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 的位置和大小分别为
➢球壳外区域任一点电位为
b2

a22 d2
q2


a2 d2
q2
外

q
4π0


(r
2
1
2d2r cos

d
2 2
)1/
2

(d22r 2
a2
2d2ra22 cos
a24 )1/2

球壳中：
➢ 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
该角域外有3个镜像电荷q1、 q2和q3 ， 位置如图所示。其中
q1 q, q2 q, q3 q
当n=6时：
q
q
π
3
q
q
π 3
q
角域外有5个镜像电荷，
大小和位置如图所示。
q
所有镜像电荷都正、
负交替地分布在同一
q
个圆周上，该圆的圆
心位于角域的顶点，
半径为点电荷到顶点
的距离。
n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像 法就不再适用了；当角域夹角为钝角时， 镜像法亦不适用。
4. 点电荷对导体球面的镜像
设一点电荷q位于半径 a 为的接地导体球附近，与球心的距 离为d，如图所示。待求场域为r >a区域，边界条件为导体 球面上电位为零。
a
q
d
a q
q
d
➢ 设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示。 根据镜像法原理， q 和 q′在球面上的电位为零。
X 0 (x) A10 x A20
Y0 ( y) B10 y B20
kx2 ky2 0
本征
值
1(x, y) ( A10 x A20 )(B10 y B20 )
(2)当k
2 x
0 时，设kx
km (m 1, 2,L
, )
由 kx2 ky2 0
惟一性定理
分离变量法的主要步骤
– 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下 拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。
– 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程 的通解，其中含有待定常数。
– 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条 件的特解。
1. 直角坐标系中二维拉普拉 斯方程分离变量法
点
a
电
a
荷
与
接
地
导
体
球
周
围
的
电
场
(r, )
c
在球面上任取一点c，则
N
a
r2 q
r1
M
q
b
c

1
4π 0
q ( r1

q )
r2

0
d
q r2
q a b
q r1
q d a
q a b
q a q d
a2 b
d
q d a
空间任意点 (r, )的电位：
(d12 r 2

a1
2d1ra12 cos

a14 )1/ 2

➢ 用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外
的情况不予考虑。
5 线电荷对导体圆柱面的镜像
待求区域：r a
边界条件：柱面上电位为零
➢ 设想镜像线电荷 l 位于对称面上， 且与圆柱轴线距离为b，则导体柱 面上任一点的电位表示为
应注意的问题：
– 镜像电荷位于待求场域边界之外。 – 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均
匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
– 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持
原边界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的 镜像
待求场域：上半空间
边界： 无限大导体平面 边界条件： 0
Ym
(
y)

B1mcosh

km
y


B2msinh

km
y


则： 2 (x, y) ( A1m cos km x A2m sin kmx)(B1m cosh km y B2m sinh km y) m1
2 2
x2 y2 0
(x, y) X (x)Y ( y)
1 X (x)
d2X (x) dx2

Y
1 (y)
d2Y ( y) dy2

0
1 X (x)
d2 X (x) dx2

kx2
Y
1 ( y)
d2Y( y) dy2

ky2
本征函 数
本征方 程
本征方程的求解 (1)当kx ky 0 时

n
dS
整理，
(2 )dV V
ÑS
dS
n
因为，2 0
所以，
V
()2 dV

ÑV

n
dS
设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有
φ1和φ2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，
两个解的差φ′=φ1-φ2也满足方程
2 ' 0
V
()2 dV
R2
则：

U ln R2
ln
R2 r
R1
v
E
v E

U r ln R2
aˆr
R1
3.3 镜像法
• 理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。
• 镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多 个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代 替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边 界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间 电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电 场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这 种求解方法称为镜像法。
3 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组
合
f (s)
n
另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界
条件
lim r 有限值
r
若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或 另一部分导体表面的电荷量。
3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程
面


l 2π 0
ln
r1

l 2π 0
ln
r2
其中： r1 a2 d 2 2ad cos
r2 a2 b2 2ab cos
➢ 在柱面上取两个特殊点M和N，则
N
l 2π 0
ln(d
a)
l 2π 0
ln(a b)
M
l 2π 0
3.2 唯一性定理
1 定理内容
在静电场中，每一类边界条件下，
泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是 唯一的，即静电场的唯一性定理。
2 证明过程