xi
Di D
i 1,2,...,n，其中
Ddet(A)0，Di det(Ai)，Ai是A的第
i列用b代替所得。
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线性方程组的解（续1）
• 求逆运算和行列式计算由于运算量大，实际求解 过程中基本不使用，仅作为理论上的定性讨论
• 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应 用中存在很大的困难，在线性代数中，为解决这 一困难给出了高斯消元法
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3.3 上三角线性方程组（续1）
条件akk≠0很重要，因为回代算法中包含对akk的除 法。如果条件不满足，则可能无解或有无穷解
• 定理3.6 如果N×N矩阵A=[aij]是上三角矩阵或下
三角矩阵，则
N
det(A)a11a22 aNN aii i1
联系定理3.4，可知要条件akk≠0成立才能保证方 程组存在唯一解
a21
a22
a2nx2
b2
an1 an2 annxn bn
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn
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线性方程组的解的存在性和唯一性
• 定理3.4 设A是N×N方阵，下列命题等价：
• 给定任意N×1矩阵B，线性方程组AX=B有唯一解 • 矩阵A是非奇异的（即A-1存在） • 方程组AX=0有唯一解X=0 • det(A) ≠0
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线性方程组的解
• 最常见的求线性方程组Ax=b的解的方法是在方 程组两侧同乘以矩阵A的逆
Ax = b
A1A xA1b
xA1b
• Gram法则：
o作r 如下行变换之后方程组的解向量 x 不变
对调方程组的两行
用非零常数乘以方程组的某一行
将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行上
通过对增广矩阵[A|B]进行如上的行变换求解
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3.4 高斯消去法和选主元（续3）
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3
in1,..2.,1
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上三角线性方程组的求解（续1）
(2)式可简写成 Ux b， 其中
u11
U
u12 u 22
u1n u2n
unn
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3.4 高斯消去法和选主元
• 求解有N个方程和N个未知数的一般方程组AX=B的 一般做法：构造一个等价的上三角方程组UX=Y，
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3.3 上三角线性方程组（续2）
• 求解上三角线性方程组的回代算法
xn
b
... n
a
... n
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a2 2x2 a2 3x3 a2 nxn b2 a3 3x3 a3nxn b3
a n . .1 ,n . 1 x n 1+ n . .1 ,n .x a nn .b .1.
an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
a21/a11
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a22 x2 a 23 x3
回代到第一个方程，得
以4得到的新方程， 得到新的方程组：
x1
725 3
1
3x1 2x2 7
53x2
25 3
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3.4 高斯消去法和选主元（续2）
• 考虑包含n个未知数的方程组
a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a23x3 a2nxn b2 a31x1 a32x2 a33x3 a3nxn b3 an1x1 an2x2 an3x3 annxn bn
第3章 线性方程组AX• 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归 结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小 二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方 程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程， 偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组， 而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程 组。
an..n.xn bn...
xn1
bn...1 - an...1,nxn an..1.,n1
最后
n
x 1b 1(a 1x21 a a 1 x3 1 1 a nxn)b 1(k a 1 2 a 1 k 1 xk)
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上三角线性方程组的求解
• 基本算法：
xxni b(nbi/unjnni1uijxj )/iui
• 线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程 组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特 征向量的数值方法。
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线性方程组求解问题
• 考虑线性方程组 Ax = b • 其中A是一个(n ×n)的非奇异矩阵, x是要求解的
n维未知向量, b是n维常向量
a11 a12 a1n x1 b1
• 还有三角分解法和迭代求解法
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解法分类
• 关于线性方程组的数值解法一般有两类
• 直接法：若在计算过程中没有舍入误差，经过有限 步算术运算，可求得方程组的精确解的方法
• 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精 确解的方法
• 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系 数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及 收敛速度等问题
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3.3 上三角线性方程组
• 定义3.2 N×N矩阵A=[aij]中的元素满足对所有i>j， 有aij=0，则称矩阵A为上三角矩阵；如果A中的元 素满足对所有i<j，有aij=0，则称矩阵A为下三角矩
阵。
• 定理3.5（回代）设AX=B是上三角线性方程组，如 果akk≠0，其中k=1,2,…,N，则该方程组存在唯一解。
并利用回代法求解
• 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称二者等
价 • 对一个给定方程组进行初等变换，不会改变它的
解
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3.4 高斯消去法和选主元（续1）
• 考虑一个简单的例子：
3x1 2x2 7 4x1 x2 1
• 求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘