⎡ ⎢
e ⎣
x&1 x&2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡4 ⎢⎣0
0⎤ − 5⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣2⎥⎦u
y = [0
−
6]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
ax&1 = 4x1 + u cx&2 = −5x2 + 2u y y = −6x2
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！
y 无法反映 x1， 系统不完全可观！
u
=
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ ⎢ ⎣
f1 f2
⎤ ⎥ ⎦
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪
x&2
⎨
tc ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
+
1 m1
u1
⎪ ⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u2
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0⎤
2
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、
e 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， ca tcy 奠定了现代控制理论的基础。
例：已知系统的动态方程：
tc 系统可控、不可观测！
3
例：已知桥式电路
L iL
选取 x1 = iL , x2 = uC
eR C R
y = x2 = uC
au
R
uC R
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0
c 则 x2(t) ≡ 0, t ≥ t0
u 只能控制 x1，不能控制 x2 x2 不可控！
y y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化 x1 不可观测！ tc 系统不可控、不可观测！
返回
一、线性连续系统的可控性定义
返回
x&(t) = A(t)x(t)+ B(t)u(t), t ∈Tt
状状态态可可控控
e 给定初始时刻 t0 和一个非零初始状态 x(t0 ) = x0 a 如果存在有限时刻 t1 > t0和一个容许控制u(t), t ∈[t0, t1] c使状态由x0 转移到 x(t1) = 0 ,则称x0在 t0 时刻是可控的。
e Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests a A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量 c tcy αTA = λαT, αTB = 0 ⇒ α ≡ 0
13
cae 特殊形式判据 (1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵
x& = Λx + Bu
tcy x& = Jx+Bu 返回
A 的两重特征值有两个独立的特征向量
tcy [ ] 秩判据 rank B AB A2B L An-1B = dim(A)= n
前页
e 求系统的
可控性矩阵
a及其秩
⎡ x&1 ⎤ ⎡1
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0
3 2 1
2⎤⎡ x1 ⎤ ⎡ 2
0⎥⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
1
3⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣−1
1⎤
1
⎥ ⎥
−1⎥⎦
⎡u1 ⎢⎣u2
⎤ ⎥ ⎦
cA = [ 1 3 2; 0 2 0; 0 1 3 ];
e∫ ¾容许控制 u(t) ⇒
( ) t
2
t0 ui t dt < ∞
t,
t0
∈
T t
a x2
cx(t0)= x0 y t0
tc x1
x(t1) = 0
t1
t
¾ x(t0 ) ≠ 0 ⇒ x(t1 ) = 0 状态可控
返回
¾ x(t0 ) = 0 ⇒ x(t1) ≠ 0 状态可达
ex2
ax(t0)≠ 0
cA
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
系统可控！
⎢
y ⎣
2
0 −2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
⎡0 0 1 0⎤
tc [ ] rank B
AB
A2B
A3B
= ⎢⎢1 ⎢0
0 0
0 0
0⎥⎥ 2⎥
=
4
⎢⎣0 2 0 0⎥⎦
10
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
− x1
)
⎧x&1 = x2
⎪
y ⎪⎪x&2
⎨ ⎪
x&3
= =
−k m1
x4
x1
+
k m1
x3
−
1 m1
u
tc ⎪
⎪⎩
x&4
=
k m2
x1
−
k m2
x3
+
1 m2
u
u= f
y
=
⎡ ⎢ ⎣
y1 y2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x3
⎤ ⎥ ⎦
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡ 0 ⎤
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
0 0
系统可控！
⎢⎣ 0
−5 0 0
1 −5 −5
0 −1 −5
1 0 −2
0⎥⎥ 1⎥
=
4
⎥
0⎥⎦
⎡s −1 0 0 0 1⎤
y 或者 rank[sI − A B]= rank⎢⎢0 s ⎢0 0
1 s
0 −1
1 0
0⎥⎥ 1⎥
=4
tc 系统可控！
⎢⎣0 0 − 5 s − 2 0⎥⎦
PBH 特征向量判据
前页
x1(t ), x&1(t) f (t)
e m1 k
x2 (t), x&2 (t)
m2
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
选取
x
=
⎢ ⎢
x2
⎢ ⎢
x3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎣x4 ⎦
=
⎢ ⎢
x&1
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
x2 x&2
⎥ ⎥ ⎦
ca ⎩⎨⎧mm21&&xx&&12
= =
k (x2
f−
− x1
k (x2
)− f
⎢
y ⎣
2
0
−2
0⎥⎦
⎢ ⎣
2
⎥ ⎦
⎡ 0 −1 0 3 ⎤
tc [ ] rank b
Ab
A2b
A3b
= ⎢⎢−1 ⎢0
0 2
3 0
0
⎥ ⎥
−6⎥
=
2
⎢ ⎣
2
0 −6
0
⎥ ⎦
11
PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests
系统 x&(t) = Ax(t)+ Bu(t) 完全可控 ⇔
系系统统可可控控
y 如果所有非零状态在 t0 时刻都是可控的,则称系统 tc 在 t0 时刻是完全可控的；如果系统在所有时刻都是可
控的,则称系统一致可控。
5
u(t )
x0 ⇒ x(t1 ) = 0 x0 在 t0 时刻可控
所有非零状态
ae x(t0)= x0
系统在 t0 时刻完全可控 x2
c y 0
(1) A 为对角阵
e ⎡λ1 0 L 0 ⎤
a Λ
=
⎢ ⎢ ⎢
0 M
λ2 M
L M
0
⎥ ⎥
M⎥
⎢
c⎣
0
0
L
λn
⎥ ⎦
x& = Λx + Bu
tcy ¾¾BB矩矩阵阵的的行行不不全全为为零零
14
x&
=
⎡λ1 ⎢
⎣
⎤ ⎡0⎤
λ2
⎥ ⎦
x
+
⎢⎣b2
⎥u ⎦
x&1 = λ1x1 x&2 = λ2 x2 + b2u
⎢⎣0 0 5 0⎥⎦ ⎢⎣− 2 0⎥⎦
a 解: PBH 秩判据 n = dim(A) = 4
前页
cA的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5, λ4 = − 5
⎡0 −1 0 0 0 1⎤
y rank[0I − A
B]
=
rank
⎢⎢0 ⎢0
0 0
1 0
0 1 0⎥⎥ = 4
−1 0 1⎥
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
0 0
1 0
10⎥⎥⎥,
B
=
⎢⎢1 ⎢0
0⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣
2
0
−2 0⎥⎦
⎢⎣0 2⎥⎦
返回
例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。