第五章相交线与平行线5．1相交线5.1.1相交线关键问答①邻补角的特征是什么？②对顶角的特征是什么？③在两直线相交的图中，常用的求角的推理依据是什么？1．①下列选项中，∠1与∠2是邻补角的是()5－1－12．②下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是()5－1－23．③如图5－1－3，直线AB与CD相交于点O，∠AOC∶∠AOD＝1∶2.求∠BOD的度数．图5－1－3命题点1邻补角的识别与计算[热度：86%]4．④如图5－1－4所示，∠1的邻补角是()A．∠BOC B．∠BOE或∠AOFC．∠AOF D．∠BOE或∠AOF或∠DOF＋∠BOC易错警示④邻补角是有一定位置关系和数量关系的两个角．5．⑤下列说法正确的是()A．直角没有邻补角B．互补的两个角一定是邻补角C．一个角的邻补角大于这个角D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角易错警示⑤互为邻补角的两个角一定互补，而互补的两个角不一定是邻补角．6．⑥若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是() A．54°B．81°C．99°D．162°方法点拨⑥本题可以通过列一元一次方程解决．7.如图5－1－5，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝27∠2，则∠2＝________°.命题点2对顶角的识别与计算[热度：88%]8.⑦如图5－1－6，直线AB，CD，EF2＋∠3的度数等于()A．90°B．150°C．180°D．210°解题突破⑦本题利用“对顶角相等”把三个角的和转化成一个平角．9．⑧如图5－1－7，直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝2x°＋40°，则∠BOC＝________°.易错警示⑧解出x后，还需求2x＋40.10．图5－1－8．命题点3邻补角与对顶角的综合[热度：90%]11.⑨如图5－1－9，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOC＝130°，∠BOF＝140°，则∠EOF的度数为()A．95°B．65°C．50°D．40°解题突破⑨求∠EOF的度数可以转化成求两个角的和或差，再利用对顶角相等或邻补角互补进行求解.12．如图5－1－10，∠AOC和∠BOC互为邻补角，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE＝________°.13.⑩如图5－1－11，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.若∠AOC＝28°，则∠EOF＝__________°.图5－1－11模型建立⑩互为邻补角的两个角的平分线的夹角是直角.14．如图5－1－12，直线AB，CD相交于点O，∠EOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOF＝40°，求∠EOD 的度数．15.⑪已知：如图5－1－13，直线AB，CD相交于点O，∠1＝40°，∠BOE与∠BOC互补，OM平分∠BOE，且∠CON∶∠NOM＝2∶3.求∠COM和∠NOE的度数．方法点拨⑪求角时，常用到：1．将未知角转化成两个已知角的和或差；2．对顶角相等或邻补角互补；3．等角(或同角)的余角(或补角)相等；4．角平分线的性质；5．有关比例问题常用方程解决.16．图5－1－14是某墙角的示意图，为了测量底面内角∠ABC的大小，采用了在院外画线，测量后得到其大小的方法．请你设计两种测量方案．17.⑫观察图5－1－15中的图形，寻找对顶角(不含平角)：(1)两条直线相交(如图①)，图中共有________对对顶角；(2)三条直线相交于一点(如图②)，图中共有________对对顶角；(3)四条直线相交于一点(如图③)，图中共有________对对顶角；(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可构成________对对顶角；(5)若有2019条直线相交于一点，则可构成________1－15解题突破⑫本题可通过平移的方法，把n条直线相交于一点构成的对顶角问题转化为n条直线相交最多有多少个交点的问题(即n条直线两两相交)．因为每个交点处有两对对顶角，所以对顶角的对数是交点个数的2倍.18.⑬两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”(如图5－1－16)．现在平面上有若干条直线，它们两两相交并且“夹角”只能是30°，60°或90°，问：平面上最多有多少条直线？当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是多少？解题突破⑬将若干条直线两两相交的图形先转化成若干条直线交于一点的图形，按“夹角”定义看能画出多少条直线.典题讲评与答案详析1．D 2.C3．解：由邻补角的性质，得∠AOC ＋∠AOD ＝180°.由∠AOC ∶∠AOD ＝1∶2，得∠AOD ＝2∠AOC ，∠AOC ＋2∠AOC ＝180°，解得∠AOC ＝60°.由对顶角相等，得∠BOD ＝∠AOC ＝60°.4．B [解析]∠1是直线AB ，EF 相交于点O 形成的角，所以它的邻补角与直线CD 无关，即它的邻补角是∠BOE 或∠AOF .5．D [解析] 把直角的一边反向延长，可得这个直角的邻补角．互补的两个角不一定是邻补角，但邻补角一定互补．若一个角是锐角，则它的邻补角是钝角且大于这个锐角；若一个角是直角，则它的邻补角等于它本身；若一个角是钝角，则它的邻补角是锐角且小于这个钝角．6．C [解析] 设∠AOB ＝x °，则∠BOC ＝180°－x °.又因为∠AOB 比∠BOC 大18°，所以∠AOB －∠BOC ＝18°，即x °－(180°－x °)＝18°，解得x ＝99.7．140 [解析] 由题意，得∠2＋27∠2＝180°，解得∠2＝140°.8．C [解析] 由对顶角相等，可知∠1＋∠2＋∠3正好是一个平角的度数．9．120 [解析] 由对顶角相等，可得2x ＋40＝3x ，解得x ＝40，所以∠BOC ＝120°. 10．对顶角相等11．B [解析] 因为∠BOF ＝140°，所以∠AOF ＝180°－140°＝40°. 因为∠BOC ＝130°，所以∠AOC ＝50°. 因为OE 是∠AOC 的平分线， 所以∠AOE ＝∠EOC ＝25°，所以∠EOF ＝∠AOE ＋∠AOF ＝65°.12．90 [解析] 因为OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线，所以∠COD ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠BOC .因为∠BOC ＋∠AOC ＝180°，所以∠COE ＋∠COD ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝90°.13．62 [解析] 由∠AOE ＋∠BOE ＝180°，OF 平分∠AOE ，∠DOE ＝∠BOD ，可得∠DOF ＝∠COF ＝90°.又因为∠AOC ＝28°，所以∠BOD ＝∠DOE ＝∠AOC ＝28°，所以∠EOF ＝∠AOF ＝62°.14．解：因为OC 平分∠AOF ，∠AOF ＝40°，所以∠AOC ＝12∠AOF ＝20°，所以∠BOD ＝90°.因为∠EOB ＝90°，所以∠EOD ＝∠EOB －∠BOD ＝70°.6＝40°. 因为∠6＋∠BOC ＝180°，∠BOE 与∠BOC 互补， 所以∠6＝∠BOE ＝40°， 所以∠BOC ＝140°， 所以∠COE ＝100°.因为OM 平分∠BOE ，所以∠2＝∠3＝20°， 所以∠COM ＝120°.因为∠CON ∶∠NOM ＝2∶3，所以∠NOM ＝120°×35＝72°，所以∠NOE ＝72°－20°＝52°.16．解：方案一：如图①所示，延长AB ，量出∠CBD 的度数．由邻补角的定义，可得∠ABC ＝180°－∠CBD (也可延长CB )．方案二：如图②所示，分别延长AB ，CB ，量出∠DBE 的度数，由对顶角相等，可得∠ABC ＝∠DBE .17．(1)2 (2)6 (3)12 (4)n (n －1)[解析] 图①中有两条直线，共有2图，三条直线相交最多有3个交点，故共有6对对顶角；以此类推，图③中有四条直线相交，最多有3×42＝6(个)交点，故共有12对对顶角……n 条直线相交，最多有n （n －1）2个交点，故共有n (n －1)对对顶角．故若有2019条直线相交于一点，则可构成2019×2018＝4074342(对)对顶角．18．解：因为“夹角”只能是30°，60°或90°，其均为30°的倍数，所以每画一条直线后，逆时针旋转30°画下一条直线，这样就能够保证每两条直线的“夹角”为30°的倍数，即为30°，60°或90°.因为该平面上的直线两两相交，也就是说不会出现两条直线平行的情况，在画出6条直线时，直线旋转了5次，5×30°＝150°，若再画出第7条直线，则旋转6次，6×30°＝180°，这样第7条直线就与第1条直线平行或重合．如图：所以平面上最多有六条直线．第2条至第6条直线与第1条直线的“夹角”的和是30°＋60°＋90°＋60°＋30°＝270°， 第3条至第6条直线与第2条直线的“夹角”的和是270°－30°＝240°； 第4条至第6条直线与第3条直线的“夹角”的和是270°－30°－60°＝180°； 第5条和第6条直线与第4条直线的“夹角”的和是60°＋30°＝90°； 第6条直线与第5条直线的“夹角”的和是30°，则270°＋240°＋180°＋90°＋30°＝810°. 即当直线条数最多时，所有的“夹角”的和是810°. 【关键问答】①(1)有公共顶点；(2)其中一边为公共边，另一边互为反向延长线；(3)两个邻补角的和为180°. ②(1)有公共顶点；(2)角的两边分别互为反向延长线；(3)对顶角相等． ③(1)互为邻补角的两个角的和为180°；(2)对顶角相等．。