动态规划求解资源分配
实验目标：
（1）掌握用动态规划方法求解实际问题的基本思路。

（2）进一步理解动态规划方法的实质，巩固设计动态规划算法的基本步骤。

实验任务：
（1）设计动态规划算法求解资源分配问题，给出算法的非形式描述。

（2）在Windows环境下用C语言实现该算法。

计算10个实例，每个实例中n=30，m=10，C i j为随机产生于范围（0，103）内的整数。

记录各实例的数据及执行结果（即最优分配方案、最优分配方案的值）、运行时间。

（3）从理论上分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释相应的实验结果。

实验设备及环境：
PC；C/C++等编程语言。

实验主要步骤：
(1)认真阅读实验目的与实验任务，明确本次实验的内容；
(2)分析实验中要求求解的问题，根据动态规划的思想，得出优化方程；
(3)从问题出发，设计出相应的动态规划算法，并根据设计编写程序实现算法；
(4)设计实验数据并运行程序、记录运行的结果；
(5)分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释释相应的实验结果；
问题描述：资源分配问题
某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利C i j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。

问如何分配，才使国家得到最大的盈利？
1.问题分析：
本问题是一简单资源分配问题，由于具有明显的最优子结构，故可以使用动态规划求解，用状态量f[i][j]表示用i台设备分配给前j个车间的最大获利，那么显然有f[i][j] = max{ f[k][j–1] + c[i-k][j] }，0<=k<=i。

再用p[i][j]表示获得最优解时第j号车间使用的设备数为i-p[i][j]，于是从结果倒推往回求即可得到分配方案。

程序实现时使用顺推，先枚举车间数，再枚举设备数，再枚举状态转移时用到的设备数，简单3重for循环语句即可完成。

时间复杂度为O(n^2*m)，空间复杂度为O(n*m)，倘若此题只需求最大获利而不必求方案，则状态量可以减少一维，空间复杂度优化为O(n)。

程序代码：
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iomanip.h>
#include<iostream.h>
#define N 31
#define M 11
int c[N][M], f[N][M], p[N][M];
int main() {
int i, j, n, m, k;
srand(time(NULL));
n = 30; m = 10;
for (int cas = 1; cas <= 5; ++cas) {
cout<<"第"<<cas<<"个实例:"<<endl;
memset(c, 0, sizeof(c));
for (i = 1; i <= n; ++i)
for (j = 1; j <= m; ++j)
c[i][j] = rand() % 1000;
cout<<"利润表："<<endl;
cout<<" ";
for (j = 1; j <= m; ++j)
cout<<setw(4)<<j;
cout<<endl;
for (i = 1; i <= n; ++i) {
cout<<setw(4)<<i;
for (j = 1; j <= m; ++j)
cout<<setw(4)<<c[i][j];
cout<<endl;
}
memset(f, 0, sizeof(f));
memset(p, -1, sizeof(p));
for (j = 1; j <= m; ++j)
for (i = 1; i <= n; ++i)
for (k = 0; k <= i; ++k)
if (f[i][j] < f[k][j - 1] + c[i - k][j]) {
f[i][j] = f[k][j - 1] + c[i - k][j];
p[i][j] = k;
}
cout<<"最大获利："<<f[n][m]<<endl;
cout<<"资源分配匹配方案："<<endl;
k = n;
for (j = m; j >= 1; --j) {
cout<<"第"<<j<<"号车间使用"<<k - p[k][j]<<"台设备。

"<<endl;
k = p[k][j];
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
实验小结：
本次是实验是一次动态规划的实验，而本次实验的主要内容就是把动态规划的过程弄清楚，这也是本次实验的难点。

动态规划可得到一系列的解，求动态规划的基本步骤等都要有所理解。