上海大学2008～2009学年秋季学期试卷课程名： 高等数学A （一） 课程号： 学分： 6应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

应试人 应试人学号 应试人所在院系分）1. 0x =是函数11()1xf x e=+的（ ）。

A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 2. 当0x →时，()sin f x x x =-是()sin g x x x =的( )。

A ．低阶无穷小B ． 高阶无穷小C ． 等价无穷小D ． 同阶无穷小但非等价无穷小 3. 设0lim ()0,lim ()0,()()0x x f x g x f x g x →→==≠，则成立( )。

A ．0()lim1()x f x g x →= B ．()0lim ()0g x x f x →=C ．011lim 0()()x f x g x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．()0lim ()()0x f x g x →+= 4. 设()f x 满足条件()020()()lim0x x f x f x A x x →-=>-，则0()f x 是( )。

A ．极小值B ．极大值C ．不是极值D ．不能确定是否是极值 5. 设x e 是函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰( )。

A ．(1)x e x C -+B ．(1)x e xC ++ C ． (1)x e x C -+D ．(1)x e x C-++二、 填空题：（每小题 3 分，共 15 分）6. 已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数1()1f x -的定义域是 。

7. 为使函数ln(12),0(),0x x f x xx a x +⎧>⎪=⎨⎪+≥⎩在定义域内连续,则a = 。

8. 函数21()f x x x=-的上凸区间是 。

9. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。

10. 曲线11xy xe =+的铅直渐近线是 。

三、计算下例各题：（每小题5分，共40分）11、0)lim cot x x+→12、 ()1lim xxx x e→+∞+13、如果函数()y x 由方程2xy e x y=+所确定，求(0)y ''。

14、设21(sin ),y f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中f 是可微函数，求()y x '。

15、⎰ 16、2ln (1)xdx x -⎰17、证明不等式：ln (0)x e x x ><<+∞ 。

18、已知()sin cos x f e x x '=+， 求()f x 。

19．在曲线21(1)2y x =+（0x >）上任意点P 作切线，切线与x 轴交点是M ，20、设函数()f x 满足：()0,()f a f a '≠存在，求极限 1()lim ()nn f a n f a →∞⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

21、设函数()f x 满足2()(())2f x f x x '''+=，讨论 0x = 是否是函数()f x 的极值六、求解下列各题（每题6分，共12分）22、设函数()(1)(),()f x x g x g x =-在[]1,2上有二阶导数，且(1)(2)0g g ==， 证明：在区间()1,2内至少存在一个点ξ，使得()0f ξ''=23、设函数()f x 是单调函数，且二阶可导，记()g x 是()f x 的反函数， 已知：(1)2,(1)(1)1f f f '''===，求：(1) 0(1)(1)lim 2x f x f x →--； (2) (2)g ''。

上海大学2008-2009学年度秋季学期 高等数学A （1） 考试试卷答案（A 卷）一． 单项选择题：（每小题3分，共15分）1.C2. B3.D ４.A ５.C二． 填空题：（每小题3分，共15分）6.(),0(2,)-∞⋃∞.7. 2 .8. ()0,1 .9. ()2112x C --+ .10. 0x = 三、求解下列各题: (每小题5分,共40分)11. 002ln(arcsin )arcsin lim lim 1cot sin x x x x x x++→→=-（2分）20sin lim .1arcsin x x x +→=（2分）20lim 0x x x+→==（1分）12.()1lim xxx x e →+∞+解: ()1ln(),ln ,x xxx e y x e y x+=+=（2分）1ln()lim ln lim lim lim 111xx x x x x x x x e x e e x e y x e →+∞→+∞→+∞→+∞+++====+（2分） ()1lim xxx x ee →+∞+= （1分）13.如果函数()y x 由方程2xy e x y =+所确定,求(0)y ''. 解:(0)1y = （1分） ()2,(0)1xy e y xy y y '''+=+=-（2分）2()(2),(0)1xy xy e y xy e y xy y y ''''''''+++==-（2分）14.设21(sin ),y f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中f 是可微函数,求()y x '. 解:211112(sin )(sin )cos ()y f f x x x x ''=- （5分）15.⎰解:21,2x t dx tdt =-= （1分）cos 22sin t tdt td t ==⎰⎰⎰()2(sin sin )2sin cos t t tdt t t t C=-=++⎰（2分）C =+（2分）16.2ln (1)xdx x -⎰解; 2ln 1111ln ln (1)111x dx xd x dx x x x x x==-----⎰⎰⎰（2分） 1111ln ln (ln ln(1))111x dx x x x C x x x x=-+=---+---⎰（3分）17.证明不等式:ln (0)x e x x ><<+∞.证明:()ln f x x e x =- （2分）10,;()0;x e f x e f e x e-'''====>（2分）极小值(唯一极值),最小值()()0,ln f x f e x e x ≥=>（1分） 18.已知()sin cos x f e x x '=+,求().f x解: ()()(sin cos )sin x x x x x f e f e de x x e dx e x c '==+=+⎰⎰（3分）()sin(ln )f x x x C =+（2分）四、应用题：（8分）19．在曲线21(1)2y x =+（0x >）上任意点P 作切线，切线与x 轴交点是M ，又从点P 向x 轴作垂线，垂足是N 。

试求三角形PMN 面积的最小值.解:在点2001(,(1))2P x x +处切线方程:20001(1)();2y x x x x -+=-（2分） 2222000001(1)1111(1);22228PMNx x SMN PN x x x ++==+=（2分） ()()220002001310,x x dS x dx x +-===（2分）{},0.,0.min 9x S x S S S ⎛⎫''∈<∈+∞>== ⎪⎝⎭（2分） 五.求解下列各题:(每小题5分,共10分)20.设函数()f x 满足:()0,()f a f a '≠存在.求极限1()lim ()nn f a n f a →∞⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解:1()lim ()nn f a n f a →∞⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1()()()1()1()()1()()lim 1()f a f a n f a f a nf a f a n n f a f a n f a +-+-→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪+-⎢⎥⎪⎪+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（3分）()()f a f a e '=（2分）21.设函数()f x 满足2()(())2.f x f x x '''+=讨论0x =是否是函数()f x 的极值点.解: (1)若(0)0,f '≠则0x =不是函数()f x 的极值点; （2分） (2) 若(0)0,f '=由于2()2(())f x x f x '''=-是连续函数,得()(),0,()0,0,,()0;x f x x f x δδ''''∈-<∈>()(),0,()0,0,,()0;x f x x f x δδ''⇒∈->∈>（3分）则0x =不是函数()f x 的极值点六、求解下列各题: (每小题6分,共12分)22.设函数()(1)(),()f x x g x g x =-在[]1,2上有二阶导数,且(1)(2)0g g ==.证明:在区间()1,2内至少存在一个点ξ,使得()0f ξ''=. 证明: ()(1)(2)0,1,2,()0;f f a f a '==∃∈=（2分） ()()(1)(),(1)0;f x g x x g x f '''=+-=（2分）在()1,a 上,对()f x '用罗尔定理：至少存在一个点ξ,使得()0f ξ''=.（2分）23. 设函数()f x 是单调函数,且二阶可导, 记()g x 是()f x 的反函数. 已知:(1)2,(1)(1)1f f f '''===。

求：(1)0(1)(1)lim 2x f x f x →--; (2) (2)g ''.解: (1)00(1)(1)(1)(1)11limlim (1)2226x x f x f f x f f x x →→------'===- （2分） (2) 0011(2)(2)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x y g x g f y f g xf y f →→-''''+-+''==+- 0(1)(1)11lim(1)(1)(1)(1)y f f y f y f y f f y y→''-+=+-''+（2分）33(1)/((1))f f '''=-==2分）.。