n 3 －1 2 n ＋20n＋ . 2
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专 题 三 数
列
【题后点评】
利用等差、等比数列的通项
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公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an， Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”， 体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问 题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或
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专 题 三 数
列
2．等比数列 an＋1 (1)定义式： ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． an (2)通项公式：an＝a1qn－1. (3)前 n 项和公式：Sn＝ q＝1， na1 a11－qn q≠1. 1 － q * (4)等比中项公式： a2 ＝ a a ( n ∈ N ， n≥2)． n n－1 n＋1 (5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq(p，q，m，n ∈N*)．
等比数列{bn}中有bp· bq＝bm· bn.这些公式自己结合这两
种数列的通项公式推导后可加强记忆与理解．
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变式训练
专 题 三 数
列
2．(1)在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增 数列的充要条件是( A．q>1 C．0<q<1 ) B．q<1 D．q<0
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专 题 三
典例精析
题型一
数
列
等差与等比数列的基本运算
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例1 (2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19， 公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数
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列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
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专 题 三 数
列
专题三
数
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专 题 三 数
列
第1讲
等差数列、等比数列
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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专 题 三 数
列
1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. n a1＋an n n－1 d (3)前 n 项和公式：Sn＝ ＝na1＋ . 2 2 (4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p， q∈N*)． 注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写 成 an＝pn＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝ An2＋Bn 的形式(p，q，A，B 为常数)．
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专 题 三 数
列
【规范解答】
(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝
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4an＋1＋2，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an， 即an＋2＝4an＋1－4an，
∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，……3分
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn， 由此可知{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列， ∴bn＝3· 2n－1……6分
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题型二
专 题 三 数
列
等差、等比数列的性质
例2
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}
中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋„＋a7＝(
A．14 C．28 B．21 D．35
)
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(2)(2010年高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前 n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列
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所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
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列
又 S15 ＝ S37 ， a1>0 ，由二次函数图象性质可知， S26
最大． 【答案】 26 数列是一种特殊的函数，数列的通项
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【题后拓展】
公式以及前 n 项和公式可以看作是关于正整数 n 的函
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等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．
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变式训练
专 题 三 数
列
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b2＝S1，b4＝a2＋a3，
求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－ 1)]＝2n＋1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n＋
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3an－1－2 解：(1)证明：∵an＝ (n≥2，n∈N*)， an－1
专 题 三 数
列
3an－1－2 －2 a an－2 3an－1－2－2an－1 n－1 ∴bn＝ ＝ ＝ 1－an 3an－1－2 an－1－3an－1－2 1－ an－1 an－1－2 1 ＝ ＝ b－. 21－an－1 2 n 1 1 1 bn ∴ ＝ ，又∵b1＝－ ，故数列{bn}是首项为 b1 2 bn－1 2 1 1 ＝－ ，公比为 的等比数列． 2 2
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【解】
专 题 三 数
列
(1)∵{an}是首项为 a1＝19，公差为 d
＝－2 的等差数列， ∴an＝19－2(n－1)＝21－2n， 1 Sn＝19n＋ n(n－1)×(－2)＝20n－n2. 2 (2)由题意得 bn－an＝3n－1， 即 bn＝an＋3n－1， ∴ bn＝3n－1－2n＋21，Tn＝Sn＋(1＋3＋„＋3n－1)＝－
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3an－1－2 3．已知数列{an}中，a1＝3，an＝ (n≥2，n an－1 ∈N*)． an－2 (1)若数列{bn}满足 bn＝ ，证明：数列{bn}是等 1－an 比数列； (2)求数列{an}的通项公式以及最大值，并说明理由．
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1(n∈N*)．
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（2)设等比数列{bn}的公比为 q，
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则
b1q＝3， b2＝3，b4＝5＋7＝12，所以 3 b1q ＝12.
3 3 b1＝ b1＝－ ， 2 或 2 解得 q＝2 q＝－2. 3 3 n 1－2 － [1－－2n] 2 2 所以 Tn＝ 或 Tn＝ ， 1－2 1－－2 3 n 1 即 Tn＝ (2 －1)或 Tn＝ [(－2)n－1]． 2 2
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专 题 三 数
列
【思维升华】
判断某个数列是否为等差(或等比)
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数列，常用方法有两种：一种是由定义判断，二 是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中 项)．注意只要其中的一项不符合，就不能为等差 (或等比)数列．而想判断某个数列不是等差(或等
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比)数列，只需看前三项即可．
n＋1
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方法突破
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例
已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，
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三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一
条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
【解析】 由点 P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋ an＋1－an an＋2－an＋1 3， an＋ 2)在一条直线上，得 ＝ ，即 3 3 2an＋1＝an＋an+2
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(2)由(1)知， bn＝3· 2n 1，∴an＋1－2an＝3· 2n 1，
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列
an＋1 an 3 ∴ n＋1－ n＝ ， 2 4 2
an a1 1 ∴数列 n是首项为 ＝ ， 2 2 2
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3 公差 d＝ 的等差数列 ……9 分 4 an 1 3 3 1 ∴ n＝ ＋ (n－ 1)＝ n－ ， 2 2 4 4 4 3 1 n ∴ an＝( n－ )· 2 ＝(3n－ 1)· 2n－2……12 分 4 4
答案：(1)C (2)D
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题型三 例3
等差、等比数列的判定与证明
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(本题满分12分)已知数列{an}，Sn是它的前n
项和，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比 数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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(2)已知等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，且数列