等差数列复习课
4.等差数列的判定方法 (1)定义法:_a_n+__1-_数 列. (2)中项法:_2_a_n+__1=__a_n_+__a_n_+_2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式法:a_n_=__k_n_+__b_(k、b 是常数)⇔{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式法:__S_n=__A_n_2_+__B_n_(A、B 是常数,A≠0)⇔
等差数列中解决和求和问题,通常利用 Sn是n 等差数列的性质或基本量法.
【互动探究】 1 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 6S5-5S3=5,则a4=
__3__.
考点 3 等差数列性质的应用 例 3:(1)已知Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a6=100,则 S11=________; (2)若一个等差数列的前 4 项和为 36,后 4 项和为 124,且
(4)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn,则Snn是等差数列,Sk、 S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k 是等差数列.
(5)当项数为 2n(n∈N*),则 S 偶-S 奇=nd,SS偶奇=aan+n1; 当项数为 2n-1(n∈N*),则 S 奇-S 偶=an,SS偶奇=n-n 1.
4.已知数列{an}为等差数列,且 a1+a7+a13=π4,则 tan(a2 3
+a12)=__3___.
5.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1=1,a4=7,Sn =100,则 n=__1_0_.
1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,_每__一__项__与__它__前__一__项__的__差___等于同 一个常数 d,这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的_公__ _差__. 2.通项公式与前 n 项和公式
3.(1)通项公式 _a_n_=__a_1_+__(n_-__1_)_d__,a1 为首项,d 为公差.
(2)前 n 项和公式_S_n=__n__a_1_2+__a_n_ 或__S_n=__n_a_1_+__12_n_(_n_-__1_)d____.
3.等差中项 如果_a_,A__,b____成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:A 是 a 与 b 的等差中项⇔_2_A_=__a_+__b_⇔a、A、b 成等差数列.
等差数列复习课 (第一课时)
1.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知a2=3,a6=11, 则 S7 等于( C )
A.13
B.35
C.49
D. 63
2.已知{an}为等差数列,a1+a3=8,S4=10,则a6 等于( B )
A.4
B.-8
C.12
D.16
3.已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和,a4=9,a9=-6, Sn=63,则 n=_6__或__7__.
解题思路:利用方程的思想将Sn表示成关于a1、d 的方程, 或利用等差数列的性质.
解析:方法一:设等差数列的公差为 d,
则11000a1a+1+445d9=501d0=0 10 ⇒ad1==-11510010909
∴S110=110a1+12×110×109d=-110. 方法二:∵{an}为等差数列,∴可设 Sn=An2+Bn,
{an}是等差数列.
考点 1 等差数列的基本量运算
例 1:等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知 a10=20,S10 =155.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn=410,求 n.
解析:(1)由S10=
a1+a10×n=a1+20×10=155,
2
2
得:a1=11,a10=a1+9d⇒20=11+9d⇒d=1,
等差数列的常用性质: (1)数列{an}是等差数列,则数列{an+p}、{pan}(p 是常数) 都是等差数列. (2)an=am+(n-m)d,an=an+b(a、b 是常数),Sn=an2+ bn(a、b 是常数,a≠0). (3)若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则 am+an=ap+aq.
所有项的和为 780,则这个数列的项数 n=________.
解题思路:(1)利用等差数列的有关性质求解.(2)利用等差 数列的前4项和及后4项和求出a1+an,代入Sn 可求项数n.
解析:(1)S11=11a12+a11=11×2 2a6=11a6=1 100.
(2)∵a1+a2+a3+a4=36,an+an-1+an-2+an-3=124, a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3, ∴4(a1+an)=160⇒a1+an=40, ∴Sn= na1+2 an=780⇒20n=780⇒n=39.
则1100002AA++1100B0=B=10100 ⇒AB= =1-110111010
,
∴S110=1102A+110B=-110. 方法三:∵S100-S10=90a112+a100=-90⇒a11+a100=-2, ∴S110=110a12+a110=110a112+a100=-110.
方法四:∵{an}为等差数列,∴Snn为等差数列, ∴10,S1100,100,1S01000,110,S111100三点共线, ∴1S10100000--S111000=1S11111000- -11S0010000⇒110- 9010=S1111001-0 110 ⇒S110=-110.
an=a1+(n-1)d=10+n. (2)Sn=na1+nn-2 1d=11n+nn2-1=410
⇒n2+21n-820=0,解得:n=20 或n=-41(舍去).
【互动探究】
1.等差数列{an}的首项a1=-5,它的前 11 项的平均值为 5,若从中抽去一项,余下的 10 项的平均值为 4.6,则抽去的是
( B) A.a6
B.a8
C.a10
D.a11
解析:已知S11=55,即11a1+ 11×2 10d=55,又a1=-5,
∴d=2,由已知an=55-46=9,即-5+(n-1)×2=9,解得 n =8.
考点 2 求等差数列的前 n 项和
例 2:已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和,S10=100,S100 =10,求 S110.