1,高斯公式 P Q R òòò (x + y + z )dv= òò Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy. W S 2,高斯公式的实质 (1)应用的条件 (2)物理意义 dv n òòò divA =òò A dS.
W S
�
Gauss 公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系.
二,简单的应用
例 1 计算曲面积分
òò (x- y)dxdy+ (y- z)xdydz
S
其中∑为柱面x2 + y2 = 1 及
, 平面z=0 z= 3所围成的空
z
间闭区域 W 的整个边界曲面 的外侧.
解 P = (y- z)x Q= 0 , , R= x- y , = y- z P , x Q = 0 , y R = 0 , z
散度在直角坐标系下的形式 P Q R ( + òòò x y + z )dv= òò vndS W S 1 P Q R 1 ( + + ) = òò v dS dv V òòò x y z V S n W 积分中值定理, 两边取极限, P Q R 1 ( + + )(x , , ) = òò v dS x y z h z V S n P Q R 1 + + = lim òò v dS x y z W M V S n
P + Q + R. divA= x y z
高斯公式可写成
r n òòò divAdv= òò A dS.
W S
其中 S是空间闭区域 W 的边界曲面, A 是向量 A在曲面 S 的外侧法向量上的投影 . n (A = A× n = Pcos + Qcosb + Rcosg ) a n
0
四,小结
2 p 1 3
得标坐面柱用利
P Q R = òòò ( + + ) = òòò (y- z) dv dxdydz x y z W
x
)
使用Guass公式时应注意:
1.P, Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧.
例2
利用高斯公式计算曲面积分
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) , a ds òò
或
高斯公式
P + Q + R) = (Pcos + Qcosb + Rcos ) a g dS òòò (x y z dv òò W
这里 是 W 的整个边界曲面的外侧, a , cosb , cos cosg是 上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.
P Q R ( + òòò x y + z )dv= òò Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy W S = òò (Pcos + Qcosb + Rcosg ) a dS
三,物理意义----通量与散度
1. 通量的定义:
设有向量场
A x y z)= P(x y z)i + Q x y z)j + R x y z) ( , , , , ( , , ( , , k 沿场中某一有向曲面∑的第二类曲面积分为
F= òò A× dS = òò A× n dS
S S
0
= òò Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
o x
1
y
z 解 P =(y- z)x Q= 0 , , R= x- y , = y- z P , x Q = 0 , y R = 0 , z o
1
òò (xS
y) dxdy + (y- z)xdydz
y
(
W
= òòò ( sin - z)× rdrd dz r q q
W
= ò0 d ò0drò0r( sin - z)dz = - 9p . q r q 2
S + S1
D xy
o
y
x
p ì0 q 2 , =2 (x+ y+ z) dv òòò W: í0 r h , W r z h . 2 p h h =2 0 d ò0 dròr ( cos + rsin + z)× rdz r q q ò q q ì x=rcos , q í y= rsin , 1ph . 4 = z= z. 2
S : z= h . 1
a , , . zx =0 zy = 0 cos = 0 cosb = 0 cosg = 0 , .
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS = òò z 2dS òò
S1Байду номын сангаасS1
S : z= h . 1
a , , . zx =0 zy = 0 cos = 0 cosb = 0 cosg = 0 , .
y
R= z2,
P + Q + R = 2 x+ y+ z). ( x y z
z 在 W上使用高斯公式 , Q= y2, P= x ,
2
R= z2,
S 1
h ××h ×h
P + Q + R = 2 x+ y+ z). ( x y z (x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS = òò z2dS òò
S1 2 4 = òò h dxdy = p h . D xy S1
故所求积分为 (x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
S
1 4 4 4 = ph -p h = - 1p h . 2 2
S
称为向量场 A(x,y,z)向正侧穿过曲面∑的通量.
2. 散度的定义:
设有向量场A x,y,z),在场内作包围点 M 的闭曲 ( 面 S , S 包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩 成点 M 时,极限
òò A×dS
lim
V M S
V
存在,
div 则称此极限值为 A 在点 M 处的散度, 记为 A.
一,高斯公式 二,简单应用 三,物理意义—通量与散度 四,小结
一,高斯公式
设空间闭区域 W 由分片光滑的闭曲面∑围成.函数
P(x y z) Q x,y z),R x,y z)在W 上具有一阶连 , , , ( , ( ,
续偏导数, 则有公式
+ Q + R) = Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy ( P òòò x y z dv òò W
o x
y
z 解 曲面 S 不是封闭曲面, 不能直接用高斯公式.
2 S1 : z= h (x2 + y2 h ) 补充
S 1
h ××h ×h
S 取上侧, 1 S + S 1围成空间区域 W . S+ S 1 恰好是空间区域 W 的外侧 . 在 W上使用高斯公式 , Q= y2, P= x ,
2
o x
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
S + S1
p ì0 q 2 , =2 (x+ y+ z) dv òòò W: í0 r h , W r z h . 2 p h h =2 0 d ò0 dròr ( cos + rsin + z)× rdz r q q ò q q ì x=rcos , q í y= rsin , 1 4 = ph . z= z. 2
S
其中∑为锥面 x2 + y2 = z2介于平面 z=0及
z=h ( > 0 之间的部分的 h )
z h ××h ×h
a 下侧,cos , cosb , cosg 是
∑在 (x,y,z) 处的法向量的 方向余弦.
S 1
解 曲面 S 不是封闭曲面, 不能直接用高斯公式.
2 补充 S1 : z= h (x2 + y2 h )