证：设 cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的外法线向量的方向余弦，则
∂v = vx cos α + v y cos β + vz cos γ ． ∂n
故
∫∫ u ∂ndS = ∫∫ (uv
Σ Σ
∂v
x
cos α + uv y cos β + uvz cos γ )dS
0 0
1
3
2π 0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ zdz
0 0
1
3
1 9 9 = 0 − 2π ⋅ ⋅ = − π ． 2 2 2
2
（2） 【P228， 例 3】 I=
∫∫ ( z
Σ
2
1 2 2 + x)dydz − zdxdy ， 其中 ∑ 是旋转抛物面 z = ( x + y ) 介于平面 z = 0 2
Ω
= −∫
2π 0
π 1 1 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr = −2π ⋅1⋅ = − π . 0 0 5 5
例 2【P232，例 3】 设函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) 在空间闭区域 Ω 上具有一阶及二阶连续偏导数， 证明 Green 第一公式：
Σ1 Σ1
h 2 dxdy = h 2 ⋅ π h 2 = π h 4 ．
x 2 + y 2 ≤ h2
故，原式 =
Σ+Σ1
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 h
2 2 2 2 2 2
π
4
− π h4 = −
π
2
h4 ．
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
下面我们来解释 Gauss 公式的物理意义． 设在空间闭区域 Ω 上有稳定流动、不可压缩的流体（假定流体的密度为 1）的速度场
v ( x, y, z ) = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ))
其中 P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 均具有一阶连续偏导数， Σ 是 Ω 的边界曲面的外侧，
定理
设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 Σ 所围成的，函数 P( x, y, z ) 、
Q( x, y, z ) 、 R ( x, y, z ) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 Gauss 公式：
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ，
Dxy Dxy
（3） 【P231， 例 2】 ( x cos α + y cos β + z cos γ ) dS ， 其中 ∑ 为锥面 x + y = z 介于平面 z = 0
2 2 2 2 2 2
Σ
∫∫
与 z = h ( h > 0) 之间的部分的下侧， cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余 弦； 解：原式 = z
+ + ⎟ dV = ∫∫ v ⋅ ndS = ∫∫ v dS ∫∫∫ ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
n Ω Σ Σ
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
1 V
+ + ⎟dV = ∫∫ v dS ． ∫∫∫ ⎜ V ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
n Ω Σ
⎛ ∂P
∂Q
∂R ⎞
1
左端为 Ω 内的源头在单位时间、单位体积内所产生的流体质量的平均值． 左端应用中值定理得： ⎜
3
Σ1
（4）
∫∫ xy dydz + yz dzdx + zx dxdy ，其中 ∑ 为上半球面 z =
2 2 2
1 − x 2 − y 2 的下侧．
z 1 Σ Ω O Σ1 1 1 y
Σ
解：如图，取 Σ1 为 z = 0( x + y ≤ 1) 的上侧，
2 2
记 Ω 为由 Σ 与 Σ1 所围成的闭区域， 则由 Gauss 公式， 原式 =
= ∫∫∫ [
Ω Ω
∂ (uvx ) ∂ (uv y ) ∂ (uvz ) + + ]dxdydz ∂x ∂y ∂z
= ∫∫∫ [(u x vx + uvxx ) + (u y v y + uv yy ) + (u z vz + uvzz )]dxdydz = ∫∫∫ (u x vx + u y v y + u z vz )dxdydz + ∫∫∫ u∆vdvdxdydz
Σ+Σ1
∫∫ ( z
+ x)dydz − zdxdy − ∫∫ ( z + x)dydz − zdxdy
2
Σ1
= 0 − ∫∫ − zdxdy = ∫∫ zdxdy
Σ1 Σ1
O x
y
= ∫∫ 2dxdy = 2 ∫∫ dxdy = 2 ⋅ π ⋅ 22 = 8π ． （其中 Dxy : x 2 + y 2 ≤ 4 ． ）
z1 x , y )
∂R dz = ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x, y ) ⎤ ⎦−R⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy ， ∂z Dxy
{
}
1
而
∫∫ Rdxdy =∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy + ∫∫ Rdxdy
Σ Σ1 Σ2 Σ3
= − ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy + ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x , y ) ⎤ ⎦ dxdy + 0
∫∫∫ u∆vdvdxdydz = ∫∫ u ∂ndS − ∫∫∫ (u v
Ω Σ Ω
∂v
x x
+ u y v y + u z vz )dxdydz ，
其中 ∑ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面， 符号 ∆ =
∂v 为函数 v( x, y, z ) 沿 ∑ 的外法线方向的（Laplace）算子． + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Ω Σ
∂P
∂Q
∂R
（ 1）
z
n
或
∂P ∂Q ∂R + )dv = ( + ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z Ω
Σ Ω
O y x
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS ， （1′ ）
Σ
其中 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧，
cos α 、 cos β 、 cos γ 是 ∑ 在点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦．
Ω Ω
⇒ ∫∫∫ u ∆vdvdxdydz =
Ω
∫∫ u ∂ndS − ∫∫∫ (u v
Σ Ω
∂v
x x
+ u y v y + u z vz )dxdydz ．
4
*二、通量与散度
高斯公式：
+ + ⎟ dV = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ∫∫∫ ⎜ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Ω Σ
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy ．
2 2 2
Σ
如图，取 Σ1 为 z = h( x + y ≤ h ) 的上侧，
2 2 2
h
Σ1
记 Ω 为由 Σ 与 Σ1 所围成的闭区域， 则由 Gauss 公式，有
Σ+Σ1
Ω Σ
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = ∫∫∫ (2 x + 2 y + 2 z )dv
§11.6
高斯（Gauss）公式， 通量与散度
*
教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念及其求法 教学重点：高斯公式 教学难点：高斯公式的应用 教学内容：
一、Gauss 公式
Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而 Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系， 这个关系可陈述如下：
⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ 1 + + = ⎟ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ (ξ ,η ,ζ ) V
∫∫ v dS , (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω ．
n Σ
令 Ω 缩为一点 M ( x, y, z ) ，取极限，得
Dxy Dxy
= ∫∫ R ⎡ ⎣ x, y , z 2 ( x, y ) ⎤ ⎦−R⎡ ⎣ x, y, z1 ( x, y ) ⎤ ⎦ dxdy ，
Dxy
{
}
故
∫∫∫ ∂z dv = ∫∫ Rdxdy ；
Ω Σ
∂R
类似， 若过 Ω 内部且平行于 x 轴的直线以及平行于 y 轴的直线与 Ω 的边界曲面 Σ 的交点也都恰 好是两个，同理有
∫∫∫ ∂x dv = ∫∫ Pdydz ，
Ω Σ
∂P
∫∫∫ ∂y dv = ∫∫ Qdzdx ．
Ω Σ
∂Q
由以上三式相加，即可证得高斯公式． （二）若 Ω 不是（一）的情形，则将 Ω 适当分割之．引进几张辅助曲面把 Ω 分为有限个闭区域， 使得每个闭区域满足情形（一）的条件，并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相 等而符号相反，相加时正好抵消，因此 Gauss 公式对于这样的闭区域仍然是正确的． 例 1 求下列积分： （1） 【P231， 例 1】