专题(三)
圆锥曲线方程的求法与讨论
求圆锥曲线方 程的方法小结
1、代入法（用定义） 2、五步法（特别：参数法、相关点法） 3、待定系数法
互动练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
OB
x
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
kOA • kOB
y1 • x1
y2 x2
y1 y2 x1 x2
4 4
1
∴OA⊥OB
引伸练习
1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求弦长|AB|。
应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| |
PF1 PN
| |
3 5
,即|
PF1
|
3 5
|
PN
|
3 5
(xp
25 3
)
5 xp 5
xp 5时,| PF1 |max| A2F1 | 8,
xp 5时,| PF1 |min | A1F1 | 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点 与两个定点的 与一个定点和
的距离的和等 距离的差的绝对 一条定直线的距
于常数
值等于常数
离相等
x2 y2 1(a b 0) x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
a2 b2
图 形
顶点坐标 （±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆
双曲线 抛物线
对称性 焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, X轴，实轴长2a,
Y轴，短轴长2b Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
（±c,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x
专题(一)
定义的应用
(一)定义的应用
互动 练习
1、已知点P 是椭圆
x2 y2 25 9
1一点 ， F1和F2
是椭圆的焦点，
⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积
由两点间距离公式得:
| PF1 |2 (x 3)2 y2
x2 6x 9 16 (25 x2 ) 25
9 x2 6x 25 (3 x 5)2
25
5
5 x 5| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
解法2：同解法1得方程 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是12， 所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于
12的椭圆。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
94
说明:(1)从图形分析,应有四个解
(2)利用方程求解时,应注意 对K的讨论
y
O
x
例.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 (x-2)2=2x 化简得 x2-6x+4=0
y
A
解得： 则：
x 3 5 y 1 5
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
(2) PF1 PF2 的最大值
P
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1
F2
思考题:怎样求
PF1
PF2
(| PF1 | | PF2 2
|)2
25
|PF1|·|PF2|的最小 值?
PF1 PF2 max 25
圆锥曲线复习课
基础知识系统复习
一、学习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的 几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
知识结构
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
①①①22-2-②-②②得得得22(31|P|+PFcFo11|s·|·θ|P|)P|FPF2F2|=|1=|3·36|P6 F2|=36
故故SS故FF1S1PPFF2F21PF21212||P12PFF|1P1||F|1|P|PF|F2P2|F|ss2inin|690
9sin 13co3s
9 tan
1 cos 1
| PF1 |max 8,| PF1 |min 2
互动 练习
(一)定义的应用
2、已知点P 是椭圆 x2 y2
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
1
上一点
， F1和F2
l P
N
是椭圆的左
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相
OB
x
kOB
1 3
5 5
, kOA
1 3
5, 5
kOB
• kOA
1 3
5 • 1 5 3
5 1 5 1 5 95
∴OA⊥OB
例1.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB （课本P130例2）。
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
y
A
由一元二次方程根与系数的关系，可知
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程
x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
Y
P
X
O1
O2
当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2 ①
当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
即 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 化简整理得 : x2 y2 1 36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P
X
O1
O2
例（课本P129例1）一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
2.直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于A、B ,且弦长|AB|=2 10 , 求该直线的方程.
3.直线l与抛物线y2=2x相交于A、B ,且AB中点的坐标为(3,1), , 求该直线的方程.
4.过抛物线y2=4x的焦点作直线,交此抛物线于A、B两点,求AB 中点的轨迹方程.
习题讲评
基训 P48 三、2 基训 P45 三、2 基训 P46 三、2 基训 P52 三、2
于是得动圆圆心的轨迹方程为 x2 y2 1 36 27
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
布置作业：
复习参考题：A组12题、13题
2
d P
F1
F2
(一)定义的应用
互动 练习
2、已知点P 是椭圆 x2 y2 1 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
右焦点,求:
25 16
(1) PF1 的最大值与最小值
P
d
(2) PF1 PF2 的最大值
A1 F1
F2 A2
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
改成双曲线
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
呢?P
d
解 ⑵⑴⑶ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10①
F1
F2
又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
由由余余由弦弦勾定定股理理定得得理::|P|得PFF:11||2|P2++F|P|1P|F2F+22||2|P2--2F2|2P|P|2F=F161|·|4·|P|②PFF22|c|cooss6θ0=°64=②64②