黑龙江省哈三中2021学年高一数学下学期期末考试试题考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（ ）A ．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线B ．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C ．圆柱的上底面下底面互相平行D ．五棱锥只有五条棱2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2b ab > B ．2ab a > C ．22a b >D ．a b <3．已知一个水平放置的平面四边形ABCD 的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B C ．D ．4．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且2153a a a =+，则8a =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．185．ABC 中，sin cos sin cos A A B B =，则ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） ①若//m α，//αβ，则//m β； ②若//αβ，m αγ=，n βγ=，则//m n ；③若n α⊥，m α⊂，则m n ⊥；④若直线m 用与平面α内的无数条直线垂直，则m α⊥．A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．4C ．2D ．238．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（ ） A 3 B ．π C ．2π D ．3π10．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，则点1A 到平面11AB D 的距离为（ ）A 3B 35C 310D 311．已知A ，B ，C 为直线l 上的不同三点，O 为l 外一点，存在实数(),0,0m n m n >>，使得OC =94mOA nOB +成立，则49m n+的最小值为（ ） A ．36B ．72C ．144D ．16912．锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()2b a ac =+()3sin cos B A A -+范围为（ ）A ．623,+⎭B ．622⎫+⎪⎪⎝⎭C ．()1,2D ．621,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上． 13．已知a ，b 满足2a b ==，a ，b 的夹角为120︒，则a b ⋅=__________．14．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2PA AB AC ===则该三棱锥的外接球的表面积为__________．15．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所成角为30︒，设6AC =，8BD =，则过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的面积为__________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知0a >，0b >．（Ⅰ）求证：()2232a b b a b +≥+；（Ⅱ）若2a b ab +=，求ab 的最小值． 18．（本小题满分12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （Ⅰ）求异面直线1AB 与1A D 所成角； （Ⅱ）平面11//B AD 平面1BC D ．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，()*1532n n n a a n N +=+⋅∈．（Ⅰ）数列{}n b 通项2nn n b a =+，证明：{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S ． 20．（本小题满分I2分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA AB AD A B ===，1AB AD ⊥，111AB B C ⊥． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AA B B ； （Ⅱ）求直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，()()cos 2cos 2cos b A C c a B -=-．（Ⅰ）求ca的值； （Ⅱ）若1cos 4B =-，4b =，求ABC 的面积．22．（本小题满分12分）已知直角三角形的两直角边4AC =，3BC =，点P 是斜边AB 上一点，现沿CP 所在直线将CPB 折起，使得平面BCP ⊥平面ACP ；当AB 的长度最小时，求： （Ⅰ）四面体ABCP 的体积ABCP V ； （Ⅱ）二面角A BC P --的余弦值．参考答案一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．C5．D6．B7．A8．C9．D10．A 11．C 12．A二、填空题 13．-214．12π15．616．()()()()1*114,24347n a n a n N n n n ⎧==⎪-⎨=∈≥⎪--⎩三、解答题17．证明：（Ⅰ）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+．（Ⅱ）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥∴1≥，∴1ab ≥．当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1．18．（Ⅰ）通过平移找到夹角，写出夹角60︒．（Ⅱ）故线面平行得判定定理证得1//AD 平面1BC D ，同理可证1//AB 平面1BC D ，由面面平行的判定定理证得11//B AD 平面1BC D ．19．（Ⅰ）()11252n n n n a a +++=+，15n n b b +=，15b =．{}n b 为首项为5公比为5的等比数列．（Ⅱ）52n nn a =-，11135244n n n S ++=⋅-+． 20．（Ⅰ）由线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面11AA B B ，由面面垂直的判定定理证得平面1A BC ⊥平面11AA B B ． （Ⅱ）设1A B 与1AB 交点为O ，证得()11AB AO A BC ⊥，说明OCA ∠即为所求，tan OCA ∠=21．（Ⅰ）2ca=． （Ⅱ）224161cos 224a a B a a +-==⋅， 2a =，4c =，1sin 2S ac B == 22．（Ⅰ）作BO CP ⊥交CP 于O ，连结AO ，设BCP a ∠=，则π2ACP a ∠=-， ∴sin 3sin BO BC a a ==，cos 3cos CO BC a a ==． ∵面BCP ⊥面ACP ，面BCP 面ACP CP =，BO ⊂面BCP ，BO CP ⊥，∴BO ⊥面ACP ． ∵AO ⊂面ACP ，∴BO AO ⊥，即AOB 为直角三角形， ∴222AB BO AO =+()()2223sin 3cos 424sin cos a a a a =++-2512sin 2a =-．∵π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,πa ∈， ∴sin 21a =， 即π22a =，π4a =时，min 13AB =， ∴322BO =，3sin 5A =，4cos 5A =． ()3π272sin sin sin cos 4210CPA A A A ⎛⎫∠=-=+= ⎪⎝⎭． ∵4sin sin CPCPA A=∠， ∴1227CP =，112222442727ACPS =⨯⨯⨯=． ∴11243212233727B ACP ACPV S BO -=⋅⋅=⨯⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3tan 14A =<，∴π0,2a A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴π2CPA ∠>． 过A 作AM CP ⊥交CP 延长线于M ， ∵面BCP ⊥面ACP ，面BCP 面ACP CM =，AM ∈面ACP ，AM CP ⊥，∴AM ⊥面BCP ．过M 作MQ BC ⊥交BC 于Q ，连结AQ ， ∵AM ⊥面BCP ，BC ⊂面BCP ，∴AM BC ⊥又MQ BC ⊥，AM ，MQ ⊂面AMQ ，AM MQ M =，∴BC ⊥面AMQ 又AQ ⊂面AMQ ， ∴BC AQ ⊥，∴AQM ∠为二面角A BC P --的平面角， 在Rt AQM 中，22AM =，22CM =， ∴2QM =，∴tan 2AM AQM QM∠==，3cos 3AQM ∠=．。