s1 16.7 s0 4
系统不稳定，有一个正实部的根 令F(s)=0得：s=+2，-2，+j，-j
例10 PI控制， 0.2，n 86.6
(1)确定系统稳定的K1范围;
R(s)

(2)确定全部闭环极点位于
1
K1 s
s 1之左的K1范围.
n2
C(s)
s(s 2n)
解：(1) 闭环特征方程：s3 34.6s2 7500s 7500K1 0
0

G( j0)H ( j0) G1( j0)
G( j0) 90
3)G(S)H(S)含等幅振荡环节：
G(s)H (s)

(s2
1


2 n
)1
G1 ( s)
G(s)H (s) s jn e j
1
(2 jne j 2e2 j )1
G1( jn
e j )
且第一列中符号变化次数 正实部根的数目
例6 s4 2s3 3s2 4s 5 0
s4
1
s3
2
31
35
40 51
s2
42
02
1
5
2
2
42
s1 5 1 6
1
s0
5
系统不稳定，有两个正实部的根
劳斯判据的特殊情况
(1) 某行第一列为零，其余不全为零
例8 s3 3s 2 0
N ：正穿越次数和（从上向下） N ：负穿越次数和（从下向上）
1
0
R 2N 2(N N )
j
0
j
1
1
0
1
0
N 1, N 0 R 2
N 0, N 0 R0
j


1
0
2
N 1, N 1
j
R0
j
1
2

1 0
第二部分 控制系统的稳定性
稳定性的基本概念 系统稳定性判别方法 系统的相对稳定性
一、稳定性的基本概念
稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢 复到原平衡状态的能力。
稳定系统：输出相应有界的系统，BIBO。
曲面斜坡
单摆
稳定性
• 保证系统正常运行的首要条件 • 开环不稳定，闭环稳定，例如战斗机，自行车 • 相对稳定性
或（K，* j0）点（n=m）
2）G(s)H(s)含积分环节
G(s)H (s)
1 s
G1(s)
在原点附近 s e j , [0,90o ]
映射为 G(s)H (s) Se j e j[( ) G（1 j0)]
j
j
1
e j
0

G( j)H ( j)
j
j
j
0
0
0
G(s)H (s) :
K
s(Ts 1)(s2n2 1)
(K,T 0)
K
s(Ts 1)(s2n2 1)2
K
s3(Ts 1)(s2n2 1)2
（5）闭合曲线 F包围原点圈数R的计算
j
R= GH 逆时针包围（-1，j0）点圈数N×2
N：GH 穿越（-1，j0）左侧实轴的次数
N—开环幅相曲线（ω：0 →+∞）逆时针包围临界点
（-1，j0）的圈数
j
R 2N, N N N
1 0
特殊情况：
①开环系统含纯积分环节（v型系统）从 0起，
逆时针补v×90度半径为无穷大的虚圆弧；
②开环系统存在等幅振荡环节
(s2
1
2 )1
,1

0
，
n
2

a1 a0
a3 a2
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4
0 a1 a3
a1 a3 a5
a0 a2 a4
a1 a3
a0 a2 .
a1 .
a0
.
.
n
an
赫尔维茨稳定判据: 线性系统稳定的充要条件: i 0, i 1,2,n
例3 2s4 s3 3s2 5s 10 0

a3 a1 a1
a3 a1
c14

c23 c13 c13


s0 an
a2
a3 a4 a0
c23
a5 a1 a1
a5 a1
c24

c33 c13 c13
a4
a5 a6 a0
c33

a7 a1 a1
a6 a7
劳斯表
劳斯判据：
(1) 稳定 劳思表中第一列各值 0; (2) 第一列中出现小于零的数值 系统不稳定
j
jn
e j

e j( 90o )v1
(2n )v1
G1(
jn )
0
e j
jn
e j G1 ( j n )
900，s jn

e
j[ G1 ( j n )( 900 )1 ] (900 ,900 )
e j[ G1 ( j n )11800 ] 900，s jn
s3
1
7500
s2
34.6
7500K1
s1 34.6 * 7500 7500K1
34.6
s0
7500K1
第一列各元为正，即0 K1 34.6,系统稳定.
(2) 令s s1 1代入环特征方程得： s13 31.6s12 7433.8s1 (7500K1 7466.4) 0
F（s）为s的有理分式函数，设：F
(s)

(s (s
z1 )( s p1 )( s

z2 ) p2 )
j
j
F(s)
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
F(s)
0
F
F (s)平面
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
F (s) s z1 s z2 s p1 s p2
0
N
1,
N

1 2
R 1
4
1 1 1 2
0
N

3 2
, N

0
R 3
奈奎斯特稳定判据:
1）稳定 Z=0, 即P=2N=R 2）Z=P-2N ≠ 0，不稳定，Z 为闭环正实部闭环极点个数 3）半闭合曲线穿过（-1，j0），临界稳定
例5-8 单位负反馈系统开环幅相曲线如图（k=10， p=0，v=1），试确定系统闭环稳定的k值范围
从 n 起顺时针补v×180度的圆弧至 n ；
③半次穿越；
3、对数频率稳定判据
j
(dB) L( )
1 0

0
0.1 1
-20
()
900
A() 1
00 0.1 1
(j) :
2）GH 关于实轴对称
3）只需画
G H：G (j)H
(j) :0
j
1
0
1）G(s)H(s)无虚轴上的极点 j
e j
0

在 s j, [0,) 上映射的开环幅相曲线 G( j)H ( j), [0,)
在 s e j , [0,90o ] 上映射为原点（n>m）
2 0 (2 ) (2 ) 2
j
z1
s
p1
0
z2
p2
s平面
s F(s) 映射
j F(s)
F(s)
0
F
F (s)平面
幅角原理：
R=P-Z
Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数
R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF
0
2
解：(x ) x arctgx
(2k 1) ;k 0,1,2,3
A(x )
2
1x2
(xm) xm arctgxm A(xm) 1xm 3
[(2k 1) arctgx ] x 0
d d x
逆时针包围原点的圈数。
（2）复变函数F(s)的选择
F (s) 1 G(s)H (s) 1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
则: 1) F(s)的零点=闭环极点， F(s)的极点=开环极点 2)因为m≤n，所以 F(s)零点数= F(s)的极点数
3）F 和 GH 只相差常数1，F对原点的包围的圈数=
15 0 0 2 3 10 0 4 0 1 5 0 0 2 3 10
15
1 1, 2 2
7, 3
15 0
3 2 3 10 45, 4 450 01 5
系统不稳定
例4 2s4 3s2 5s 10 0
a1 0, 系统不稳定
例5 2s2 s 1 0
s3
1
7433.8
s2
31.6
7500K1 7466.4
s1 31.6 * 7433.8 (7500K1 7466.4)
31.6
s0
7500K1 7466.4
第一列各元为正，即 1 K1 32.3, 系统全部闭环极点位于s 1之左
2 、 奈氏判据
（1）数学基础：幅角原理 s为复数变量
GH 对（-1，j0）点包围的圈数