ij
J2 K 0
②特雷斯卡（Tresca,1864）准则：最大剪应力达到某一极限值时， 材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即
1 max 1 2
2
,
1 2

2

3
,
1 2

3
1
K 0
③Drucker-Prager准则：
aI 1
J2 K 0
假想弹性应力
有平衡方程
( [ B ] [ D ][ B ]d V ){ } { F } [ B ] [ 0 ]d V
T
{ } el [ D ]{ }
[ K 0 ]{ } { F }
[ B ] { 0 } dV
T
[K 0 ]
[ B ] [ D ][ B ]dV
在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终 应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路 径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载过程。研究弹 塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为
应力状态
R ( ij , K ) 0
硬化函数
( d { } e )
全应变增量可以分为两部分：弹性增量 塑性增量
如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即
d { } [ D T ({ })] d { }
并将平衡方程式改写为 上式的增量形式为V { F } 0
T
d { }
T
[B]
T
d { } d V
d { } ( [ B ] [ D T ({ })][ B ]d V ) d { } [ K T ]d { }
[ K ({ })]{ } { F }
此即为材料非线性问题的平衡方程
(2) 迭代求解方法 用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为 变刚度迭代法 常刚度迭代法 （a）变刚度迭代法 变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果 材料的本构关系能够表示成 { } [ D ({ })]{ }
可以采用Newton-Raphson切线刚度迭代法，其迭代公式为
[ K T ] n { } n 1 { } n [ ] n 1 { } n [ ] n 1
切线刚度矩阵 切线弹 性矩阵 [ K T ] [ B ] T [ D T ({ })][ B ]d V
T
{F }n
[ B ] ({ } n { } nel ) dV
T
写成迭代公式 [ K 0 ]{ } n 1 { F } { F } n
0 迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取 { F } ，切线性弹性问题的解。 以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可 参阅文献[1]
( d { } p )
d { } d { } e d { } p
而应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即
弹性矩阵 d { } [ D ] e d { } e [ D ] e ( d { } d { } p )
塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑 性变形增量。若采用相关联流动法则（普朗特——路斯流动法则 [1] ）。塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交， R 用数学公式表示为
1
{ }1 [ K ] 0 { F }
③取 { } 1 ，算得 [ K ]1 ④ { } 2 [ K ]1 1 { F } ⑤多次迭代直止 { } n { } n 1 给定小数，则 { } n就是方程的解
此图是此种迭代 过程的应力变化， 可以看出，弹性 矩阵[ D ({ })] 表示 应力应变曲线上 的割线斜率，所 以此法称为割线 刚度法或称直接 迭代法
0
（3） 增量求解方法 （a）弹塑性本构关系的特点 单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳 为：
①应力在达到比例极限前， 材料为线弹性； ②应力在比例极限和弹性 极限之间，材料为非线性弹 性。 ③应力超过屈服点（ s ） ，材料应变中出现不可恢复 的塑性应变，应力和应变间
卸载前材料曾 经受到过的最 大应力值，称 后屈服应力
则应力位移关系
刚度矩阵
{ } [ D ({ })][ B ]{ }
[ K ({ })]
[ B ] [ D ({ })][ B ]d V
T
平衡方程迭代公式
迭代步骤如下 ①首先取 { } 0 ②由式
[ K ] n 1 { } n { F }
0 ，则 [ K ({ } 0 )] [ K ] 0
（4）桥梁结构非线性 材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料 本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始 终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因 素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后 ，再近似叠加考虑综合因素影响。 圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁 工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学 院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。 相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一 些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应 、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。 所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。 寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向， 也是工程界所渴望的
③重复①、②步骤，直到接近真实解，使 { } n 1 给定小数 计算时，可取 { } 0 0 进行首次迭代。 下图是此种迭代过程的应力变化。可看出，弹性矩阵[ D ({ })] 表示应力、 应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。
（b）常刚度迭代法 如果材料的本构关系可以写为 { } f ({ }) 将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替
[ ] n
[ B ] { } n d V { F }
T
迭代步骤如下 ①已知 { } n ，求得 { } n ，切线弹性矩阵[ D T ({ } n )] ，
[ K T ] n [ K T ({ } n )]
②算出 { } n 及 { } n 1 ，则 { } n 1 { } n { } n 1
{ } [ D ]{ } { 0 }
初应力列阵
线性弹性矩阵，即 { } 0 时的切线弹性矩阵
若调整 { 0 } ，使上列两式等价，则
{ 0 } { } [ D ]{ } f ({ }) [ D ]{ }
{ } 0 { } el
T
若 若
0

0

s
，称此材料为理想塑性材料 ，称此为硬化现象或加工硬化。 s
理想塑性材料
（b）增量形式的弹塑性矩阵通式 在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可用应力的某种函数表示 R ( ij ) 0 即此式的几何意义为
以 ij 为坐标轴的空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个 R 点，当此点落在屈服面之内时， ( ) 0 ，材料呈弹性状态； R ( ij ) 0 时，材料开始进入塑性。 各向同性材料的屈服条件与坐标轴的选取无关，屈服函数可以主 应力函数形式表示为 R ( 1 , 2 , 3 ) 0 屈服准则表达形式较多，常用的有： ①米赛斯（Von Mises,1913）准则：应力偏量的第二不变量（ J 2 ）达 到某一极限时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第四强度理论， 即
桥梁结构材料非线性分析
(1) 材料非线性问题的平衡方程
以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主 要是弹塑性问题。 以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为
[ B ] { } d V { F }
T
{ } [ B ]{ }
由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍 然成立，但物理方程是非线性的，可以写成 f ({ }, { }) 0 注意到平衡方程式是以应力 { } 表示的，由于小变形的关系仍然是 线性的，但是以结点位移{ } 表示的平衡方程则不再是线性的，因为 应力和应变 { } 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关 系所联系，于是改写为
（1）材料非线性问题 若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制 方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝 土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的 非线性。 在桥梁工程问题中: 混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段， 呈现出材料非线性本质。 材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类， 前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本 质是相同的，求解方法亦完全一样。 （2）几何非线性问题 若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变 化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性 问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚 度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有 关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题
桥梁结构的材料几何非线性分析



桥梁结构的非线性问题 桥梁结构材料非线性分析 桥梁结构几何非线性分析 活载非线性分析 小结 本章参考文献 本章附录：几种常见单元的切线刚度矩阵
桥梁结构的非线性问题
从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础 上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线 性问题逐步得以解决； 目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要 的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂 问题的简化方法。 经典线性理论基于: 小变形 弹性本构关系 理想约束 三个基本假定，使得: 本构方程 几何运动方程 平衡方程 成为线性。 若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各 种非线性问题。