第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为 ()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。

若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。

并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1） 如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-Θ（2） 如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。

因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。

（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π,答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδΛ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

（1）()⎪⎭⎫⎝⎛2=f f H rect （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛2-⎪⎭⎫⎝⎛4=f f f H rect rect答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形{}{}[]21()()()()()3350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f⎧⎫⎡⎤⎧⎫==*Λ⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭=*F F F方括号内函数频谱图形为：图1.4（1）f c 2sin 图形为：图 1.4（2）因为f c 2sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。

两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2sin 的最大值小于0.04%。

故图解)(f G 频谱结果为：图 1.4（3）传递函数（1）形为：图 1.4（4）因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ其反变换，即输出函数为：)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。

传递函数（2）形为：f图 1.4（5）此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于027.0)35(sin 043.0)34(sin 22==c c可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数()()ax a y x h 2=sinc ,抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：(){}(){}()y x f δa f ax sinc a y x h ⎪⎭⎫⎝⎛==2ΛF ,F Θ≤∞21=21≤∴Y aB X x ;也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ⨯表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。

答：因为b a ⨯表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。

如果系统的传递函数为()y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。

证明：(){}()(){}()()()0,,,y δx y x y f H f f H f y x h x L ==*=δF F1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'。

证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数()y x g ,'0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'，并请确定()y x g ,'0。

答：为了便于从频率域分析，分别设：物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ； 像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：(,)22y xx y xy f fH f f rect rect B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g 、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为0(,)(,)22(,)y x x y x y x y i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=g 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0(,)22y xx y xy f fA f f rect rectB B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱混叠，于是()00'(,)(,)2,222y xx y x y x x y y n m xy f fA f f A f f rect rect fB n f B n B B δ∞∞=-∞=-∞⎛⎫⎛⎫=*-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑g 01(,)22422y y x x x y xy x y x yf f f f A f f rect rect comb comb B B B BB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=* ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭g （1） 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即0'(,)(,)22y x x y x y x y f f A f f H f f rect rect B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g '(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对0A 和0'A 的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2x x f rect B ⎛⎫⎪⎝⎭。