x y0
1 U (0,0, z ) e xp( jkz) jz
x 0 y0 k 2 2 circ( a ) e xp j 2z ( x 0 y 0 ) dx0dy0 2 a 1 k 2 e xp( jkz) d e xp j 2z r rdr jz 0 0 1 2z 1 a2 e xp( jkz) e xp( jk ) 1 jz jk 2 2z
f ( x)
1, x0
x0 x0
h( x )
f ( x)
e x ,
0,
x0
其它
0,
h( x )
其它
1
1
0
x
1
0
x
（1）、将f (x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线
h( ) f ( )
1
1
0

1
0

（2）、将h() h(-) 只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜 像h(-)曲线。

x
0
f ( )h( x )d
-( x )
1 e
x 0
d
x
g( x0 )
1 e
x 0
-( x )
d 1 e
0
x
x0
1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为
h1 ( x ) si nc( x ) 和 h2 ( x ) si nc( 3 x )
g1 ( x )
-1
G1 ( ) 0
1 G2 ( ) H 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 1 1 rect( ) ( 1) ( 1) 3 3 2 1 ( 1) ( 1) 6 1 g2 ( x ) 2 ( ) cos 2 x G 3
0 x1
0 1.5 计算下列一维卷积
x 1 (1) ( 2 x 3) rect( ) 2 x 1 x 1 ( 2) rect( ) rect( ) 2 2
其它
( 3) comb x ) rect( x ) (
解（1）
(1) ( 2 x 3) rect( x 1 1 3 x 1 ) ( x ) rect( ) 2 2 2 2
h( x )
相乘、积分得卷积
g( x )
f ( )h( x )d (1 )(1 x )d
1 x 1 x
0 x
1

1 1 1 3 x x 3 2 6
1 1 1 x x3 3 2 6
g( x )
1 x 0
1 1 1 x x3 3 2 6
k 2 2 ( x0 y0 ) U0 ( x0 , y0 ) A0 P( x0 , y0 ) exp j 2f
x 0 y0 k 2 2 exp j ( x0 y0 ) A0 circ( ) D1 / 2 2f
2 2
将此式代入菲涅耳衍射公式
1 x
1

（3）位移 当 ( )
相乘、积分得卷积
g( x )
0 1 x
f ( )h( x )d
0
1 x
1

当
1 1 1 3 (1 )(1 x )d x x 0 3 2 6 f ( ) 0 x1 如图
解： ( x, y ) U
1 k 2 exp( jkz) exp j ( x y 2 ) jz 2z 2 k 2 2 U0 ( x0 , y0 ) exp j 2z ( x 0 y 0 ) exp j z ( xx0 yy0 )dx0dy0

kx 2
k y 3
kz 4
k 2 k x k y kz 29
2 2 2
2 k 29
2 2 2 3 2 4
2 29

1

3 2 2

第二章习题解答
2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试 求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
-1
1.12 已知一平面波的复振幅表达式为
U ( x, y, z ) A e xp j(2 x 3 y 4 x )
试计算其波长以及沿x,y,z方向的空间频率。
U ( x, y, z ) A e xp jk r



A e xp j(k x x k y y kz z )
n n
( x n) e xp(j x )
( 1)n ( x n)
n


( x n) e xp(j n) (1) ( x n) ( x n)
n n
n
comb( x ) e xp(j x ) comb( x )
a 2 a 2 a 2 2 j e xp( jkz) si n ( ) j si n ( ) cos( ) 2 z 2z 2 z a 2 a 2 2 j e xp( jkz) si n( ) e xp(j ) 2 z 2z a 2 1 e xp(j 2 x ) 2 j e xp(jx ) sinx I ( 0,0, z ) 4 sin 2 2 z
解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案

1 f (ax, by) F( , ) ab a b


2 x 2 ) e xp( x ) e xp(

exp( 2 2 )
2 2

x2 ) e xp exp( 2 2

2 e xp



2 2 x
?
2
2 2
2


2 e xp 2 2 2

1.10设线性平移不变系统的原点响应为 h( x ) e xp( x )step( x ) 试计算系统对阶跃函数step(x)的响应。 解： h( x ) exp( x )step( x ) e xp( x ) g( x ) step( x ) h( x ) f ( x ) h( x )
1
f ( )
h(- )
1
0

1
0

（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)，
当x 0时 , f ( )h( x ) 0
因此 g(x)=0
当x 0时, 计算积f(α)h(x α)曲线下面的面积 f ( )
1 h( x - )
0 x
g( x )

g( x )
2 2
1 2z 1 a2 e xp( jkz) e xp( jk ) 1 jz jk 2 2z 2 2 a a e xp( jkz)cos(k ) j si n ( k ) 1 2z 2z a 2 a 2 e xp( jkz)cos( ) j si n ( ) 1 z z a 2 a 2 a 2 e xp( jkz)cos( ) j 2 si n ( ) cos( ) 1 z 2 z 2 z a 2 a 2 a 2 e xp( jkz)cos(2 ) j 2 si n ( ) cos( ) 1 2z 2 z 2 z a 2 a 2 a 2 e xp( jkz) 2 si n2 ( ) j 2 si n ( ) cos( ) 2z 2 z 2 z a 2 a 2 a 2 e xp( jkz) j 2 si n ( ) j si n ( ) cos( ) 2 z 2z 2 z
第一章习题解答
x comb( ) comb( x ) e xp(j x ) comb( x ) 1.2 证明 2 x x comb 证： ( 2 ) ( 2 n) 2 ( x 2n) n n
ccomb( x ) e xp(j x )
1 k 2 2 U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x y ) jz 2z
2 k 2 2 U0 ( x0 , y0 ) exp j 2z ( x 0 y 0 ) exp j z ( xx0 yy0 )dx0dy0

x y0
2 x 0 y0 e xp( jkf ) exp( jkf ) D1 U (0,0, f ) A0 circ( D1 / 2 )dx0dy0 A0 j f 4 j f 2 2 2 D1 I 0 106 I (0,0, z ) A0 4 f
comb( x )
n
( x n) rect( x )
rect( x )
=

comb( x ) rect( x )



1.6 已知 exp( x 2 ) 的傅里叶变换为 exp( 2 ) 试求

e xp( x ) ?
2
x2 )? exp( 2 2
f ( x ) cos2 x 的响应
试计算各自对输入函数 g1 ( x ) 和 g2 ( x ) 解： H1 ( ) rect( )
H 2 ( )
1 rect( ) 3 3
1 F ( ) ( 1) ( 1) 2 1 G1 ( ) H 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 1 rect( ) ( 1) ( 1) 0 2