1.什么是单元的协调性和完备性要求？为什么要满足这些要求？平面问题三角形单元如何满足这些要求？矩形 4 节点平面单 元呢？
答：(1) 如果泛函数中的最高阶导数是 m 阶，势函数在单元交界面上应有直至 m-1 阶的连续导数，满足上述条件，称单元
是协调的。势函数包括本身和直至 m 阶导数为常数的，称为单元的完备性。
k61 k62 k63 k64 k65 k66 v0 0
k61 k62 k63 k64 k65 k66
由此可知：刚度矩阵性质 4：单元刚度矩阵是奇异阵。
同时，当 u0 ≠ 0 ， v0 = 0 时，有 ki1 + ki3 + ki5 = 0 ；当 v0 ≠ 0 ， u0 = 0 时，有 ki2 + ki4 + ki6 = 0 由此可见，刚度矩阵性质 5：对应于水平向位移，有 ki1 + ki3 + ki5 = 0 ；对应于竖直向位移，有 ki2 + ki4 + ki6 = 0 。
0d
2
即 1 {P}T {d} ，也可由应变能U = 1 {d}T {K}{d} = 1 {d}T {P} = 1 {P}T {d} 进行证明。
2
2
2
2
而势能泛函的外力功，其初始状态外力为 P0 = {P} ，故其外力功为W = {P}T {d} 。
7.证明：单元的刚度矩阵是半正定的。
证明：应变能 U
完备性要求： 由位移函数的完全多项式可以看出，所要求的 m 阶多项式已包含了刚体位移和常应变项。 协调性要求：
∫ ∫ ∫ 以一般的平面问题为例。在平面问题中，势能函数为 Π = U −W = 1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ω
σ
ijε
ij
d
Ω
−
Ω biuidx +
Sp piuidA
其中， bi ，
pi 为作用在物体上的体积力和面力。由于 εij
=
1 2 (ui, j
+ u j,i ) ，可以看出所出现的物理量关于位移 u，v
的最高阶导数是 1，因此 m=1。由完备性准则可知，形状函数至少应包含完整的一次多项式，即
u(x, y) = a0 + a1x + a2 y v(x, y) = b0 + b1x + b2 y
这代表刚体位移和常应变的位移模式。 综上所述，可知在完备性准则和协调性准则中，都自动具备单元的常应变项（或常应力项）。亦即单元的常应力项或常 应变项是保证收敛性的前提条件。
消去 u0 和 v0 ，得 N1(x, y) + N2 (x, y) + N3(x, y) = 1
3
∑ 由此可知，形函数的性质 2：单元形函数满足 Ni (x, y) = 1，它表明形状函数能描述单元的刚体位移。 i =1
刚度矩阵的性质：
(1) 令 ui = 1 ， u j = uk = 0 ， vi = v j = vk = 0 ，则可得 k(2i−1)n = P(2i−1) ，其中 m 为奇数 同理可得， vi = 1 ， v j = vk = 0 ， ui = u j = uk = 0 时， k(2i)n = P(2i) 由此可知，刚度矩阵性质 1： kmn 表示在 n 对应的节点的位移方向上的节点位移为 1，而其他方向及其他节点的位移均
k14 k24 k34 k44
v1 θ1 v2 θ2
=
0 0 0 0
（1）
情形 1：垂直方向的刚体平动（ C0 型位移） 节点位移为 v1 = v2 = v0 ，θ1 = θ2 = 0 ，代入（1）式有
ki1 + ki3 = 0 (i = 1, 2, 3, 4) 情形 2：刚体转动（ C1 型位移） 节点位移为 v1 = 0, v2 = θ0 ⋅ l,θ1 = θ0 ,θ2 = θ0 ，代入（1）式有
=
1 M
2 Ai x + Bi y
0
Bi x + 2Ci y
0
Bi
x
+
2Ci
y
2 Ai x + Bi y
由 [ B] 可知， ε x ε y γ xy 是关于 x, y 的变量，所以此单元应变为非常应变单元。
(2)应力{σ } = [D][B]{d} = [D]{ε}亦为非常应力单元。
(3)此位移模式无常数次和一次项，所以不满足完备性要求。所以，它的解是不收敛的。
= v0 = v0
，其中 u0 , v0
为刚体位移的平移量，则有单元刚度方程为
v3 = v0
k11 k21
k12 k22
k13 k23
k14 k24
k15 k25
k16 k26
u0 v0
0 0
k11 k12 k13 k14 k15 k16 k21 k22 k23 k24 k25 k26
kk3411
对于 N1
=
A1x2
+ B1xy + C1 y2 ， Ni (xi ,
yi )
= δij
=
1 0
i= i≠
j j
，有
x12 x22
x32
x1 y1 x2 y2 x3 y3
y12 y22
A1 B1
=
1 0
y32 C1 0
x2 y2 y22
x22 y22
解得 A1 =
x3 y3 M
6.对于弹性结构，若给定的荷载列阵为{P}，对应的位移列阵为{d} ，则势能泛函中的外力功为{P}T {d} ，但静力加载过
程中做的功为 1 {P}T {d} ，为什么？ 2
∫ 答：静力加载的过程是从 P0
= 0 的初始状态开始加载，直到外力达到{P}为止。所以其外力做功为
d P xdx = 1 Pd ，
体位移情形下，有位移列阵不为 0（有刚体位移存在），而此时应变能 U=0，则 K e = 0 ，因此，可得刚度矩阵性质 3：刚
度矩阵是半正定的。另外，单元刚度矩阵的系数还有性质 kii > 0
(4) 讨论刚体位移的情形，这里只讨论刚体平动的情况。
设节点位移为
uu12
= =
u0 u0
u3 = u0
vv12
同理可得 Ai
=
y j yk (x j yk M
− xk y j ) ， Bi
=−
x2j
yk2
−
xk2
y
2 j
M
， Ci
=
x j xk (x j yk − xk y j ) ，i, j, k 顺次轮换。 M
则 Ni = Ai x2 + Bi xy + Ci y2 ， u = N1u1 + N2u2 + N3u3 对于 v = N4 x2 + N5 xy + N6 y2 ，有 N4 = N1 N5 = N2
=
1 2
{d}Te
[
K
]e{d
}e
，
[
K
]e
为二次型矩阵。
如果在去除刚体位移的情形下，无论{d}e 取何值，除非{d}e = 0 ，U 永远大于 0，故可知，此时[K ] 是正定的。 如果在刚体位移情形下，则{d}e ≠ 0 ，而此时应变能U = 0 ，所以有 K e = 0 ，因此[K ] 是半正定的。
k32 k42
k33 k43
k34 k44
k35 k45
k36 k46
u0 v0
=
0 0
。由此可知，
k31 k41
k32 k42
k33 k43
k34 k35 k36 = 0 k44 k45 k46
k51 k52
k53
k54
k55
k56
u0
0
k51 k52 k53 k54 k55 k56
当单元为非协调元时，由于单元位移在交界面处未严格满足连续性要求，使得结构刚度有所降低， [K ] 总体减小，所
以{d} 更趋于真实解。
5.证明：单元的常应力项或常应变项是保证收敛性的前提条件。 证明：收敛性的含义为，当单元尺寸趋于 0 时，有限元解趋于真实解。只有满足协调性要求和完备性要求才能保证收敛性。
令 ui = 1 ， u j = uk = 0 ，则可得 u(x, y) = Ni (x, y) 由此可知，形状函数性质 1： Ni 表示在某坐标方向上，i 点的节点位移为 1，其他节点位移为 0 时的单元位移场函数。
(2)考虑单元发生刚体位移的情形
设单元有刚体位移 (u0 , v0 ) ，由于是刚体位移，则单元的位移场函数及节点位移都为 (u0 , v0 ) ，即
p
=
1 {d}T [K ]{d} −{d}T [K ]{d} = 2
−
1 {d}T [K ]{d} = 2
−U
在平衡情况下，系统总势能等于负的应变能，因此 π p → π pmin ， U → Umax 。由于 π p (u∗ ) ≥ I p (u) ，则
u 代表真实位移，相应的 u[K ]{d} ； u∗ 代表位移的有限元解，相应的 u∗[K ∗ ]{d ∗} 。 即{d ∗}T [K ∗ ]{d ∗} ≥ {d}T [K ]{d} 。因为[K ∗ ]{d ∗} = [K ]{d} ，所以{d ∗}T ≥ {d}T ，即近似位移{d ∗}总体小 于精确解{d}
4.一般情况下，有限元方法总是过高计算了结构的刚度，因而求得的位移小于真实解，为什么？如果单元不满足协调性要求，
情况如何？为什么？
答：一般情况有限元方程求解时根据最小势能原理推导的，在高斯系统中，系统总势能
π
p
=
1 {d}T
2
[K ]{d}−{d}T { p}
由 ∂π