极点极线的简单应用内容摘要：我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

其实这些问题都与极点极线有关，极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。

关键词：极点极线调和点列完全四边形不知道大家在平时做题的时候有没有将题目分类的习惯，这样可以让我们能够对一些类似的题目的做法给出一些比较方便简洁的做法。

让我们以后在遇到类似的问题的时候就可以比较迅速的找到突破口，这也是一种在学习数学中必不可少的方法。

以下就是我和其他几位同学总结的有关于我们在解平面几何以及平时看书所得到一些东西，拿出来和大家交流一下，希望能够对其他人提供一些帮助。

我们总结的的方法就是大家比较熟知但却比较难的一种解法——极点极线。

一、定义我们平时在做几何题时，经常可以看到一些十分类似的图形。

在一个圆中，由圆外一点做他的两条切线，然后连接切点弦，再引出了一系列的问题。

如下面的这道题：如左图（1）所示，PS 、PT 与⊙O 相切于S 、T 两点，PAB 为圆的任意一条割线，交ST 于M ，求证：P 、A 、M 、B 四点成调和点列。

解：设OP 交ST 于L 。

联结AL 、AO 、BL 、BO ，则由圆幂定理可知2PA PB PL PO PS ⋅=⋅=ALBO ∴四点共圆从而PLA OBA OAB OLB∠∠∠∠＝＝＝即LP 是ALB ∠的外角平分线但是PL ⊥LM ，故LM 是ALB ∠的内角平分线。

AM AC AP MB LB PB∴==即PAMB 是调和点列。

（1）由于PAB 的任意性，但是上面的证法利用了特殊的一条割线，不能十分充分的证明对于任意的PAB ，他与ST 的交点M ，PABM 成调和点列。

于是我们寻找另外的方法。

通过正弦定理与三角形的相似来证明上题：sin sin PA PS PSA AM SM AST ⋅∠=⋅∠∵，sin sin PB PS PSA BM SM BST⋅∠=⋅∠由正弦定理得PA PS AS AM SM AT =⋅，PB PS SB BM SM BT=⋅PSA PBS ∆∼∆∵PAT PBT∆∼∆AS AT SB BT∴=PA PB AM BM ∴=由此看出上述的接论是成立的。

于是我们把P 点叫做ST 直线关于圆O 的极点，直线ST 是P 点关于的极线。

上题只是P 点在圆外的情况，实际上P 点在圆内与圆上都是存在关于他的极线的。

当P 点在圆上时，P 点的极线即是P 点的切线。

当P 点在圆内时，我们也可以找到他的极线：如右图，过P 点作任意两条割线AB ，CD ，P ′，P ′′分别为AB 、CD 的调和点，则对于任意的割线，P ′P ′′为固定直线，则P ′P ′′为P 点关于圆O 的极线。

（2）下面证明P ′P ′′为固定直线。

解：过OP 做弦EF ，在直线EF 找到一点Q 使得QFPE 四点调和过Q 做⊙O 的两条切线QM 、QN ，运用同一法易证得MNP 三点共线，且易证得AQP DQP∠=∠引理1如下图，对线段AB 的内分点C 和外分点D ，以及直线AB 外的一点P ，若PC是APB ∠的平分线，且C 、D 调和分割AB ，则PC ⊥PB 。

可过点C 作EF ∥PD ，交射线PA 于点E ，交射线于点F ，EC AC CB CF PD AD BD PD ===∵EC CF ∴=从而知PC ⊥EF ，亦知PC ⊥PB（3）由引理1得到OQ QP ′⊥与OQ QP ′′⊥从而得出P QP ′′′三点共线，所以P ′P ′′为固定直线，即P 点关于圆的极线。

从而看出极点与极线在几何中有着广泛的性质，如果我们把他的性质研究透彻，便可以很快的解出一些较难的几何题。

二、性质由上面的证明过程中，我们总结出性质1。

性质1P 点与过P 点作任意割线与圆和其关于圆的极线所交形成的三点为调和点列。

在研究性质1的过程中，我们发现了关于极点与极线一个十分特殊的例子，六点共线。

如图（4），连线ST 为Q 关于圆O 的极线，任意作两条割线QAB 、QCD 分别交ST 于H 、J ，联结AD 、CB 交于I ，延长CA 与DB 交于P ，则P 、T 、H 、I 、J 、S六点共线。

A D（4）证明过程如下：由引理知AH AQ BH BQ =，CJ CQ DJ DQ=故AH BH AH BH AB AQ BQ AQ BQ AQ BQ +===++，CJ DJ CJ DJ CD CQ DQ CQ DQ CQ DQ+===++211HQ AH AQ AQ AQ BQ BQ AH AH AH AB AB++==+=+=211JQ CJ CQ CQ CQ DQ DQ CJ CJ CJ CD CD++==+=+=考察ACQ ∆被直线PBD 所截应用梅涅劳斯定理可知1CP AB QD CP AH PA BQ DC PA HQ =⋅⋅=⋅QN CN⋅所以PHJ 共线，从而STHJP 五点共线。

另一方面，联结PI ，分别交QB 、QD 于H ′、J ′，由完全四边形的调和性可知，QAH B ′为调和点列，QCJ D ′为调和点列，于是H 与H ′重合，J 与J ′重合，故HJP 三点共线，所以得到S 、T 、H 、J 、I 、P 六点共线。

为了研究极点与极线的其他性质，我们找到了一些特殊情况，试图在特殊情况中得出极点极线的某些普通的性质。

我们试着在⊙O 上取两点A 、B ，作他们的极线即圆的切线，而我们发现两条切线的交点P 关于圆的极线恰好是AB 的连线，如右图。

由此我们猜想：两点连线的的极点为此二点极线的交点。

于是我们尝试证明一般情况。

如右图（5），作圆O ，任取PQ 两点，联结PQ ，并作出他们的极线，交于H ，证明H 为PQ 的极点，即证明OH ⊥PQ 。

由上面的性质得到ABQ 、PCD 三点共线。

易得到PO ⊥AB ，OQ ⊥CD 。

于是得到，H 为PQO ∆的垂心，所以H 为PQ 关于圆O 的极点，证毕。

（5）（6）于是我们得到了性质3：两点连线的的极点为此二点极线的交点。

我们从上述的性质3，于是又有了进步更加大胆的猜想，是否两直线交点的极线为此二直线极点的连线？于是我们又尝试运用特殊例子，证明他的正确性，再加以严格的证明。

于是我们又举了一个与上面相同的特殊情况。

如图（6），PA 、PB 为两条直线，而A 、B 分别为他们的极点，而他们的交点P 的极线，恰好是AB 的连线。

于是我们尝试着去证明一般情况。

如右图（7），AB 、CD 为任意的两条直线，分别交圆O 于A 、B 与C 、D ，P 、Q 分别为AB 、CD 关于圆的极点，AB 与CD 交于E ，求证：E 关于圆的极线为PQ 。

解：我们由P 、Q 作两条割线过E ，于是由题意可知P 、J 、E 、K 四点调和与Q 、L 、E 、M 四点调和，于是过OE 做弦NR在直线EF 找到一点F ′使得F EOS ′四点调和过F ′做⊙O 的两条切线F R ′、F N ′，运用统一法易证得NER 三点共线且易证得AFE CFE ∠=∠，于是由引理1得EF PF ′′⊥，EF QF ′′⊥。

所以PF Q ′共线，F ′与F 重合，于是PQ 为E 关于圆O 的极线。

证毕。

由此，我们得到了性质4：两直线交点的极线为此两直线极点的连线。

三、运用我们研究了那么多极点与极线的性质，然后于是我们发现运极点与极线的性质，我们可以极快的解决一些较难的几何问题。

如此题：如图（8），D 是ABC ∆的BC 边上的一点，使得CAD CBA ∠=∠，⊙O 经过B 、D 分别交AB 、AD 于E 、F ，BF 交DE 于G ，M 为AG 的中点，求证CM ⊥AO 。

联结EF ，延长与BC 交于P ，联结OP ，延长与AC 延长线交于L ，联结AP联结GP 延长分别交AB 、AD 于I 、K ，延长AG 与BC 交于H 。

1、DFP ABD DAC ∠=∠=∠∵PF ∴∥CA由完全四边形的调和性可知AFKD 四点调和，于是得到2AF KD AK FD⋅=⋅可得12AF KD FD AK ⋅=，AF PC FD PD =∵12PC KD PD AK ∴⋅=考察ADC ∆被直线KPL 所截1AC PC KD LC PD AK ⋅⋅=得到12AC LC =C AL ∴为的中点CM ∴∥PG2、下面可运用极点极线PG ⊥AO 。

由A 、E 、I 、B 四点调和，A 、F 、K 、D 四点调和，由性质2得到PI 的连线为A 点关于⊙O 的极线，于是得到PG ⊥AO ，PG ∵∥AO CM AO∴⊥证毕。

如此一道复杂的几何题却利用极点极线的思想，轻松的做完了，可见极点极线在几何题中的运用十分广泛。

再例如今年全国数学联赛的二试的几何题，如下图（9），锐角三角形ABC 的外心O ，K 是边BC 上的一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上的一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与BC 交于点M ，求证：若OK 垂直MN ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。

（8）其提供的解答，用了十分复杂且麻烦的方法证明了当A，B，C，D四点共圆时，OK⊥MN。

再利用同一法证明了结论。

但是若是知道极点与极线的性质，我们可以极快的证出垂直来。

（9）（10）证明过程如下：解：如图（10）过N作圆O的两条切线PN与QN。

连接ON交PQ于L。

则根据极点极线的推理可知M，P，E，K，L，F，Q7点共线MK，垂直于ON。

同理可知NK垂直于MO所以点K是三角形MON的垂心。

所以OK垂直于MN。

证毕。

再利用同一法，就可很快证出结论。

四、总结与体会其实极点极线所涉及的内容还是非常的丰富，而且极点极线的妙用远不止如此，我们只是对其做了一个初步的探究。

所以我们在日常做题当中还要总结经验才能够将这些方法使用得更好。

我们所学的是有限的，而数学是无止境的，需要我们一步一步的探索。