( x ) f ( x ) f ( x)
(, 0)
(0,1)


1
0
(1,3 / 2)
3 / 2 (3 / 2, )



极小值 f (1 ) 0


0
拐点
( 3 1 , ) 2 9



4).找渐近线:
1 2x 因 lim ( 1) , 故直线x 0 为垂直渐近线. 2 x 0 x
1 2x 因 lim ( 1) 1, 故直线 y 1 为水平渐近线. x x2
20
3 1 得点: (1,0), 3 , 1 . 5).计算 f (1) 0, f . 2 9 2 9 16 9 1 1 4 补充点: 3, , 2, , ( 1, 4), , 1, 2, , 3, . 9 4 2 4 9 y
(2)若在( a , b )内
证明（略）要用到拉格朗日中值定理
5
例1.判断曲线
解
yx
3
的凹凸性
y
y x3
y 3x 2
y 6 x
0
x 0 时,
y 0,
x
曲线 在 ( , 0)内是凸的.
x 0 时, y 0,
曲线 在 (0,) 内时是凹的.
f ( x ) ，若
x x
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b
b为曲线 y f ( x ) 的一条水平渐近线。
则称直线 y
x2 的水平渐近线 例3 求函数 f ( x ) 2 x 1 x2 解： lim 1 所以 y 1 是水平渐近线 2 x x 1
12
2、 铅垂渐近线
定义5
对于函数
f ( x ) ，若
x a
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x a xa
y f ( x ) 的一条铅垂渐近线。 x2 的铅垂渐近线 例4 求函数 f ( x ) 2 x 1 2 x 解： lim 所以 x 1 是铅垂渐近线 2 x 1 x 1 x2 所以 x 1是铅垂渐近线 lim 2 x 1 x 1
的渐近线。
16
三、函数图形的描绘
17
三、函数图形的描绘 一般步骤:
1. 确定函数的定义域 、值域 2、考察对称性、奇偶性、周期性;
3、讨论单调性 4、讨论凸凹性及拐点 5、讨论极值、极值点；最值、最值点 6、求渐近线 7. 找出特殊点. 极值点、拐点、与坐标轴相交的点等等. 8. 描图.
18
1 2x 1 的图形 2 x 解. 1).定义域: ,0 ) ( 0 ,
则称直线
y ax b 为曲线 y f ( x )的一条斜渐近线。
斜渐近线的求法：
f(x) f(x) b a) 0 lim( a ) 0 lim( x x x x x f(x) b lim [ f ( x ) ax ] a lim x x x
y 所以 斜渐近线为： x 1
x2 1 方法2:(用公式） a lim x ( x 1 ) x x2 x b lim( x ) lim 1 x x 1 x x 1
y 所以 斜渐近线为： x 1
15
例6.求函数
2( x 2 x 6) f ( x) x 1
6
定义2
曲线上凸弧与凹弧的分界点,称为拐点.
如例1中,点(0,0) 是曲线 注意
y x 3 的拐点.
1.若点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.或 f ( x0 )不存在
2.由f ( x0 ) 0. 或不存在 所确定的点 ( x0 , f ( x0 ))未必是拐点. 如 f ( x)
列表：
x
y y
( ,1 / 5 )
1/ 5
(1 / 5,0)
0
不存在 无拐点
(0, )

凸
0
有拐点

凹

凹
综上，曲线在 ( ,1 / 5 ) 上为凸； 在 (-1/5, ) 上为凹的. 1 6 是拐点. 点 , 3 5 5 25
9
二、曲线的渐近线
§4.6 函数图形的描绘 １、曲线的凹凸与拐点 ２、曲线的渐近线 ３、函数图形的描绘
1
一、曲线的凹凸性与拐点
2
一、曲线的凹凸性与拐点 若对任意 定义1(凹凸性) 设 f (x ) 在区间I上连续，
y
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
f(
y
f(
x1 x2 ) 2
x1 , x2 I
x x
14
x2 的斜渐近线。 例5 求函数 f ( x ) x 1
解： 方法1:(用定义）
x2 1 a x 2 a bx b 0 lim ax b lim x x 1 x 1 x
1 a 0, a b 0 a 1, b 1
1
2
2
x1 x2 2
)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2

o
x1
x2
x
o x1
x1 x2 2
x2
x
凹的
凸的
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
3
直观观察
y
y
o
x
o
x
凹
13
则称直线 x a为曲线
3、斜渐近线
定义6
x
对于函数
f ( x ) ，若
x
lim [ f ( x ) ( ax b )] 0 或 lim [ f ( x ) ( ax b )] 0
或
lim [ f ( x ) ( ax b )] 0
x
凸
f (x )递增
f (x )递减
f ( x ) 0
f ( x ) 0
4
定理1
设函数 f (x )在 [a , b] 上连续,在( a , b)内具有二阶导数,
(1)若在( a , b )内
f (x ) 0 ，则 f (x ) 在 [a, b]上图形是 凹的 f (x ) 0，则 f (x ) 在 [a, b]上图形是 凸的
例7.描绘函数 f ( x )
2( x 1 ) 2 2 2). f ( x ) , 2 3 3 x x x 6 4 2( 3 2 x ) f ( x ) 4 3 x x x4
令
f ( x ) 0,
得
x 1,
3 令 f ( x ) 0, 得 x , 2
10
二、曲线的渐近线
定义3 如果曲线上的点沿着曲线趋于无穷远时，与某条直线 的距离趋于零，则称该直线为曲线的一条渐近线。
lim d 0
l : ax by c 0
lim ax bf ( x ) c a b
2 2 x
y
y=f(x)
M
0
d
l x
11
1、 水平渐近线 定义4 对于函数
8
例２.求曲线 y ( x 1) 3 x 2 的拐点及凹凸区间. 解 定义域为:( ,
2 3
)
1 3 1 3 4 3
5 2 10 2 2 5x 1 y x x , y x x 3 4 3 3 9 9 9 x 令 y 0 得 x1 1 / 5, 当 x2 0 时, y 不存在.
x , f (0) 0,
4
但点 (0,0) 不是拐点.
7
确定曲线的凹、凸区间及拐点的方法和步骤： 1. 求出
f ( x ), f ( x ); （求导）
2. 找 使f ( x ) 0 的点及
f (x ) 不存在的点; （找点）
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论. （列表）
1 2x f ( x) 1 2 x

2
1

-3
-2
-1
0

1
2
3
x
21
小 结
1）会求凹凸区间
2）会求渐近线
两条经验
1).求凹凸区间的关键是求出二阶导数 2).求渐近线的关键也是求出二阶导数
22
作业 P 61 123 P 133
12
23