2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。