图1
大轮和小轮切齿刀具
r c2 和 r c1 是刀尖半径， 图中， α g 和 α p 为刀具齿形 大轮的刀具齿面用参数 θ g 、 和 S g 表示为： 角， （ r c2 － S g sinα2 ） cosθ g （ r － S sinα ） sinθ c2 g 2 g r g（ θ g ， Sg ） = （ 1） － S g cosα2 1 － cosα2 cosθ g n g（ θ g ） = － cosα2 sinθ g （ 2） sin（ α2 ） 大轮和小轮的切齿坐标系如图 2a ） 、 图 2b ） 所 示， 其中， 图 2a ） 是大轮切齿坐标系，O g 是刀具中 O c2 是摇台中心， O2 是齿轮的设计交叉点 （ 齿轮 心， S c2 、 Sa 轴线与 2 条轴线间距离线的交点） ， 坐标系 S p 、 S g 和 S2 分别固定在刀具和被加工齿 固定在机床上， ， 轮上 g 和 2 分别为摇台转角和大轮的加工转角 。 根据图 2a） 中坐标关系， 齿面在 S2 中的表达 式为： r2 （ θ g ， Sg ， φg ， φ2 ） = M2a（ φ2 ） × M ac2 × M c2p（ φ g ） × M pg × r g（ θ g ， Sg ） n2 （ θ g ， φg ， φ2 ） = L2a（ φ2 ） × L ac2 × L c2p（ φ g ） × L pg × n g（ θ g ） （ 4） L 为其中的 3 × 3 转 式中： M 为 4 × 4 坐标转换矩阵， 动部分。切削时刀具形成的假想齿面与大轮齿面啮 （ 3）
{
r1 h = r2 h n1 h = n2 h
（ 15 ）
（ 15 ） 式表示的矢量方程中包含了 6 个标量方 程， 由于 n 是单位矢量， 独立的方程数为 5 个， 再加 上 2 个啮合方程， 因此共有 7 个独立的标量方程， 而 Sg 、 Sp 、 φg、 ψ2 、 θp、 φp、 ψ 1 共 8 个。 此时 未知数为 θ g 、 可按一定步长选择 ψ 1 ， 求解非线性方程组 （ 15 ） ， 解 出其余的 7 个未知数， 将以上求得的 8 个参数代入 （ 3 ） 式、 （ 4 ） 式和（ 8 ） 式、 （ 9 ） 式中， 分别得到坐标系 S2 和 S1 中的接触点。在整个啮合过程中， 以一定的 步长选定 ψ 1 ， 重复以上计算， 直至求出的接触点超 出齿面的有效边界， 即可得到大轮和小轮齿面的接 触点轨迹。 对于每一个瞬时接触点， 齿轮刀具表面的主曲 根据图 2 所示的切削坐标 率和主方向都是已知的， 和相对运动关系， 可以计算得到齿面上该点的主曲 并根据事先给定 的 弹 性 变 形 量 d ≤ 率和主方向， 0. 006 35 mm［10］， 进而得到瞬时接触椭圆的长轴方 向与尺寸， 即齿面啮合印痕。 此外， 还可由 ψ 1 和 ψ 2 获得齿轮副的传动误差 曲线。传动误差函数
51175423 ） 资助 基金项目： 国家自然科学基金（ 51375384 、
作者简介： 王星（ 1982 —） ， 女， 西北工业大学博士研究生 ， 主要从事齿轮设计制造研究 。
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西
北
工
业
大
学
学
报
第 32 卷
例验证了边缘接触分析的重要性 。
1
1． 1
理论齿面的表达
大轮理论齿面
大轮采用展成法加工， 小轮采用刀倾法加工， 这 产形轮和齿轮之间有相 时的产形轮是锥形产形轮， 对运动， 刀盘的切削面和齿面是一对完全共轭的曲 。 面 大轮和小轮的切齿刀具如图 1a） 、 图 1b） 所示。
不同误差的齿轮啮合过程和性能， 验证了数学模型与理论推导的正确性， 为下一步轮齿承载接触分析 （ loaded tooth contact analysis，LTCA） 打下了基础。 HGT 方法， 词： 边缘接触分析， 准双曲面齿轮， 齿面接触分析 2758 （ 2014 ） 03047506 中图分类号： TH132． 41 文献标志码： A 文章编号： 1000关 键 准双曲面齿轮是齿轮传动中最为复杂的一种 ， 其几何形状与啮合理论非常复杂， 一直是齿轮制造 过程中的难点。同时它又是汽车驱动桥中的关键零 部件， 而准双曲面齿轮的啮合质量是通过正确的切 国内不少学者对这方面的工作做 齿设计来保证的， 了深入的研究。 格里森准双曲面齿轮常用的切齿方法有 4 种， HFM、 HGT 和 HGM。由于 HFT 大 代号分别为 HFT、 轮采用成形法加工， 工件和摇台均不转动， 由刀盘直 接回转加工出齿面， 从而具有加工效率高的特点， 因 此， 在汽车工业中得到了广泛应用， 它也是目前使用 ［1 ］ 最多的准双曲面齿轮的切齿方法。 唐进元等 针 对 HFT 准双曲面齿轮， 推导了齿面方程和过渡曲面 ［2 ］ 推导了 方程。方宗德等 针对 HFT 准双曲面齿轮， ［3 ］ 齿轮传动的轮齿接触分析方法。 李慧 针对 HFM 法利用空间啮合几何学和空间坐标变换 ， 建立了大、 小轮切齿加工的数学模型和齿面表达的非线性方程 ［4 ］ 组。Simon 研究了如何在数控机床上加工准双曲 ［5 ］ 面齿轮。吴序堂 对 HGT 准双曲面齿轮切齿方法 大 做了深入的理论研究。对于 HGT 准双曲面齿轮， 轮采用展成法加工， 加工效率没有成形法高， 但是展 成法 （ generated ） 与成形法 （ formated ） 相比， 其优越 且自从弧 之处就是可以设置齿轮具体的啮合性能，
缘接触是一种轮齿齿顶边缘传递运动的现象 ， 当边 缘接触发生时， 由于两接触曲面的位置关系不确定 ， 因此不能应用微分几何求解在接触曲面上的主曲率 方向。对于准双曲面齿轮， 边缘接触是极易发生的， 如何正确确定在接触曲面上的主方向， 将对齿轮副 的承载接触分析产生较大影响。方宗德教授对该问 题进行了研究， 提出了通过“数值方法 ” 在接触点邻 近曲面范围内产生主方向并得到沿该方向离散点处 ［8－9 ］ 。 为了问题的简化， 齿面间隙的方法 近似取两 齿面啮合点接触椭圆的长轴方向作为边缘接触曲面 的主方向。 本文采用空间啮合理论， 推导了 HGT 准双曲面 齿轮齿面的表达方法， 便于进行计算机仿真和生成 轮齿模型， 以便我们准确得出不同参数、 不同误差的 齿轮啮合过程和性能， 能有效降低产品成本、 提高产 品质量， 并对该对齿轮进行了轮齿接触分析 ， 并以算
［7 ］
r1 h （ θ p ， Sp ， S p ） （ 13 ） φp ， ψ1 ） = M h1 （ ψ1 ） r1 （ θ p ， φp ， n1 h（ θ p ， φp ， ψ1 ） = L h1 （ ψ1 ） n1 （ θ p ， φp ） 2 个齿面的啮合条件为： （ 14 ）
（ 8）
由下式定义： N1 （ 0） （ ψ － ψ1 ） N2 1 （ 16 ）
（ 0） Δ ψ2 = （ ψ2 － ψ2 ） －
（ 0） （ 0） 式中： ψ 1 、 ψ 2 为小轮和大轮在参考点啮合时的初
N1 、 N2 为小轮和大轮齿数。 始转角，
图3 齿轮副啮合坐标系
根据以上计算得到的一组 ψ 1 和 ψ 2 ， 可以给出 整个啮合过程中的传动误差曲线 。啮合印痕与传动 误差是齿面接触分析的主要结果， 比较完整地表达 了齿轮副在空载或轻载下的啮合性能 。 2. 2 边缘接触分析 当退出啮合时， 小轮的齿顶边缘与大轮的齿面 可能相接触。这时， 在啮合坐标系 S h 中小轮的齿顶 边缘与大轮的齿面有相同的位置矢量， 且小轮的齿 顶边缘切矢量一定与大轮的齿面法矢垂直 此， 有： r1 h （ θ p ， Sp ， Sg ， φp ， ψ 1 ） = r2 h （ θ g ， φg ， ψ2 ） r1 h （ θ p ， Sp ， φp ， ψ1 ） · n2 h = 0 θ p （ 17 ） （ 18 ）
［2 ］
： （ 10 ）
式中： N1 为取法矢 n1 的前 3 行得到的 3 × 1 阶矢量； r1 Ｒ1 为取矢量 的前 3 行得到的 3 × 1 阶矢量。 φ 1 联合求解（ 6 ） 式 ～ （ 10 ） 式， 经过不断迭代， 可 得到小轮理论齿面方程。
2
2. 1

轮齿接触分析
齿面接触分析 计及安装误差的齿轮啮合坐标系如图 3 所示。
［5 ］
图中 O1 和 O2 为设计交叉点， 坐标系 S h 固定在 S1 和 S2 分别固定在小、 箱体上， 大齿轮上， ψ1 和 ψ2 E 为偏 分别是啮合时小轮和大轮转角， Σ 为轴交角， 置距。根据图中坐标关系， 大轮齿面在 S h 中的表达 式为： r2 h （ θ g ， Sg ， g ， ψ2 ） = M hd × M dc × M cb × M ba × M a2 （ ψ2 ） × r2 （ θ g ， Sg ） g ， n2 h（ θ g ， g ， ψ2 ） = L hd × L dc × L cb × L ba × L a2 （ ψ2 ） × n2 （ θ g ， g ） Sb 、 S c 和 S d 为辅助坐标系。 式中： S a 、 小轮齿面在 S h 中的表达式为： （ 12 ） （ 11 ）
2014 年 6 月 第 32 卷第 3 期
西北工业大学学报 Journal of Northwestern Polytechnical University
June 2014 Vol． 32 No． 3
HGT 准双曲面齿轮传动的轮齿接触分析
1 1 1 2 1 王星 ，方宗德 ，李声晋 ，高正国 ，宁程丰
第3 期
王星， 等： HGT 准双曲面齿轮传动的轮齿接触分析
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表达相似的推导， 得到小轮齿面在坐标系 S1 （ 固定 在小轮上） 中的表达式为： r1 （ θ p ， Sp ， p ， 1 ） = M1f（ 1 ） × M fc1 × M c1c（ p ） × M cb × M bp × r p（ θ p ， Sp ） n1 （ θ p ， p ， 1 ） = L1f（ 1 ） × L fc1 × L c1c（ p ） × L cb × L bp × n p（ θ p ） （ 9） 同理， 切削时刀具形成的假想齿面与小轮齿面 啮合， 因此也必须满足以下啮合方程 f1 = N1 · Ｒ1