总量函数
A (t )
贴现函数
a (t )
1
第n期利息
I (n)
0
I ( n ) A ( n ) A ( n 1),
t
n 1
积累与贴现

积累：假设张三到银行以年利率6%向银行借
100元，为期1年，则银行付给张三100元，1年
后张三还给银行106元（其中100元本金，6元
利息）。

贴现：若张三是以年贴现率向银行借100元，
i d 1 d
1 1 i
d
i 1 i

若定义折现因子 v
d iv
，则有：
及
v 1 d
例1.1 实际利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050 元，求：
i1、 i 2 、 d 1、 d 2 分别等于多少？
例1.1答案
利息度量二：积累方式不同
j)
3 4
5700 j 3 %
4 j 12 %
（ 2）
3000 (1 i ) 6000 (1 i ) (1 i ) 由 (1 i )
2 2
4
2
15000 )
1 6
6 ( 舍去负根
1
i 20 . 4 %
（ i 2 . 204 舍去 )
(4)
2
i 1 4
(4)
3
i 1 4
(4)
4
i
1 i
名义贴现率
名义贴现率 d
(m )
d 1 m
d 1 4
(4)
(m )

m
1 d

4
d 1 4
(4)

3
d 1 4
2、如果实际利率在头5年为5%，随之5年为 4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15 年末的积累值。
3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率 6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现 率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔 资金初始投资额应该为多少？
例1.5答案
n
1、 e
1 t
0
(4) 4 2
5
5
i 1 2
8
(2)
23
1 0 0 0 ( 0 .9 8 ) (1 .0 3 )
6
7 1 2 .5
例1.6：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项， 他愿意在第一年末付出1000元，第3年末 付出4000元，第8年末付出X元。

如果以6%的年利率复利计息，问X为多
1
dt
ln (1 t )
n 0
e
5
1 n
5 5
2 、 1 0 0 0 (1 i1 ) (1 i 2 ) (1 i 3 )
5
1 0 0 0 1 .0 5 1 .0 4 5 1 .0 4 1 9 3 5 .0 6 d 3、 1 0 0 0 1 4
第一章 利息的基本概念
二、利息的度量
积累函数
a (t )
1 ------------------------------ a ( t ) k ------------------------------ A ( t )
a ( t ) ----------------------------- 1
1
为期1年，则银行将预收6元（6%）的利息，
仅付给张三94元，1年后，张三还给银行100元。
利息度量一：计息时刻不同

期末计息——利率

第n期实际利率
in I (n) A ( n 1)

期初计息——贴现率

第n期实际贴现率
d
n

I (n) A(n)
实际利率与实际贴现率关系

若某人以实际贴现率d借款1，则实际上本金 为1-d，而利息（贴现）金额为d，若这笔业 务实际利率为i，则：
少？
例1.6答案

以第7年末为时间参照点，有
6 4
1 .0 6 4 1 .0 6 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5 ( 千 元 )

以第8年末为时间参照点，有
7 5
1 .0 6 4 1 .0 6 x 1 0 1 .0 6 x 3 .7 4 3 5 ( 千 元 )
5
5520
(4)2% 复 贴 现 计 息 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ） 5000
名义利率和实际利率

在实际中，经常有一年多次计息的情况。 如：一笔金额为S元的款项，年利率为10%，每半年
结算一次（即每年结算2次），相当于这笔款项的每
半年利息为5%，在复利情况下，经过2个半年（即1 年）后的积累值为： S (1 5 % ) 2
t
n
n
例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以 2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、 复贴现计息。

问此人第5年末分别能得到多少积累值？
例1.2答案
(1) 2 % 单 利 计 息 A ( 5 ) 5 0 0 0 (1 5 2 % ) 5 5 0 0 (2)2% 复 利 计 息 A ( 5 ) 5 0 0 0 (1 2 % ) (3) 2 % 单 贴 现 计 息 A (5 ) 5000 1 5 2% 5556

S 1 .1 0 2 5
相当于这一年实际利率i =10.25%。即由于利息结 算次数的不同，产生了利率的名不副实，故把10%
称为名义利率，记作 i(2)=10%。
名义利率
名义利率 i
(m )
i 1 m
1 1
1 i
(4)
(m )
m
1 i
4
i 1 4
瞬间时刻利率强度：
t

A ( t ) A (t ) a ( t ) a (t )

d dt d dt
ln
A (t )

ln a ( t )
lim i
m
(m )
lim
m
d
(m )
等价公式

一般公式
a (t ) e
t 0 s ds

恒定利息强度场合
ln (1 i ) a ( n ) e x p { n }
(4)

2
1
d
(4)
4
1 1
1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%贴现率，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月 度转换6%名义贴现率。
例1.3答案
1、 2、 3、
i P 1 4
例1.4答案
1、 1000 e
10
1000 e
10 0 . 05
1648 . 72
10
2 、1000 e
0
0 . 05 ( 1 t )
2
dt
0 . 05 0
1000 e
1 t 10
1046 . 50
例1.5
1、如果 t
1 1 t
，试确定1在n年末的积累值。
例1.8答案
(2 ) f (i) 5 0（ 0 1 i)
4
3 0 0 (1 i ) 1 5 0 (1 i )
3
2
1300
由 (1)， i 的 近 似 值 i1 0 .0 9 6 8 f ( 0 .0 9 6 8 ) 0 .1 6 0 4 ， 而 f ( 0 .0 9 6 9 ) 0 .2 4 4 7 i 2 0 .0 9 6 8 ( 0 .0 9 6 9 0 .0 9 6 8 ) 0 .0 9 6 8 4 又 f ( 0 .0 9 6 8 4 ) 0 .0 0 1 6 ， 而 f ( 0 .0 9 6 8 3 ) 0 . 0 3 8 9 0 0 .0 3 8 9 0 .0 0 1 6 0 .0 3 8 9 0 0 .1 6 0 4 0 .2 4 4 7 0 .1 6 0 4
(4) 4n
0 .0 8 500 1 4
(2) 2n
20
7 4 2 .9 7
d A 0 A n 1 2
i
(4) 4
0 . 06 1000 1 2
12
12
693 . 84
1 4 i
例1.10：求投资期

若在2009年3月13日存入1000元，同年 11月27日取出，利率为单利8%，试确 定利息金额。
（1）按英国法计算 （2）按银行家规则计算
例1.10答案
（1）投资天数=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259天
投资年数=259/365=0.71，
I=1000×8%×0.71=56.8元 （2）按银行家规则 投资天数=259天 投资年数=259/360=0.72 I=1000×8%×0.72=57.6元
例1.9：求投资期

一项投资从美国参加第二次世界大战之日，
即1941年12月7月开始，到战争结束之日，即
1945年8月8日终止，问一共投资了多少天？