轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲
（1）细长柱 —— 屈曲荷载Pcr下的轴向应力小于比例极限fp ，
弹性分析的结果是正确的。 （2）中长柱和短柱 —— 屈曲荷 载Pcr下的轴向应力超过比例极 限fp ，弹性分析不适用，需考
cr
cr= fp
cr
短柱 细长柱
虑非弹性性能。
常用的非弹性屈曲理论：
2E 2
轴心压杆：只受轴向压力作用且压力通过截面形心
的直杆。 假定条件：
（1）等截面直杆；
（2）压力通过截面形心； （3）杆端理想铰接； （4）材料完全弹性； （5）小变形（ 弯曲曲率
y (1 y )
3 2 2
y
）。
欧拉（Euler）早在1744年通过对理想轴心压杆的整体稳定问题进 行的研究，当轴心力达到临界值时，压杆处于屈曲的微弯状态。 在弹性微弯状态下，根据外力矩平衡条件，可建立平衡微分方程， 求解后得到了著名的欧拉临界力和欧拉临界应力。
当 ei 0.3h0时，按小偏心受压计算， 当 ei 0.3h0时，按大偏心受压计算
对称配筋偏心受压构件计算时
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 Ⅳ区
ei 0.3h0 ，且 N Nb ，
大偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb ， 小偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb ， 小偏心受压； ei 0.3h0 ，且 N Nb 。
Mb e0b Nb
代入并整理得：
h h 2a s ' ' 1 f c b ( b ) ( f y f y )( ) e0b h0 h0 h0 h0 1 f c b ' f y' f y
由上式知，配筋率越小，e0b越小，随钢筋强度降低而降低， 随混凝土强度等级提高而降低，当配筋率取最小值时， e0b取 得最小值，若实际偏心距比该最小值还小，必然为小偏心受压。 不对称配筋时，将最小配筋率及常用的钢筋和混凝土强度代入 上式得到的e0b大致在0.3h0上下波动，平均值为0.3h0 ，因此设 计时，
ct c
C M yc xn Ts=sA
s
Nt
y
l
s cb
b

l
受弯
Nt
e’ e0
e’
e e0
As s
e
x
N
Nu
t
1fc
fy’As’ h0 as fyAs fy’As’ h0 as fyAs
Nt
大偏拉
小偏拉
轴拉
正截面分析
基本假定
（1）截面平均应变符合平截面假定，钢筋与砼无相对滑移；
矩形截面对称配筋偏心受压构件计算曲线分区
ei 0.3，仅从偏心距角度看，可能为大偏压，也 ①Ⅰ、Ⅱ区： h
0
可能为小偏压， N 与 N b 比较应为准确的判断。 ②Ⅲ区：两个判别条件是一致的，故为小偏心受压。 ③Ⅳ区：两个判别条件结论相反，出现这种情况的原因是，虽然轴向压
N 力的偏心距较小，实际应为小偏心受压构件，但由于截面尺寸比较大，
As s
As’fy’ fc h0 e0 N
As s
As’fy’
fc h0 e0 N
As fy
As’fy’
fc h0 e0 N
e0很小 As适中
e0较小
e0较大 As较多
e0较大 As适中
受压破坏（小偏心受压破坏） 接近轴压
受拉破坏（大偏心受压破坏） 接近受弯
界限破坏
小偏心受压破坏
大偏心受压破坏
但与钢筋面积有关，设计时无法根据上述条件判断。
e0b
Nb
界限破坏时:= b，由平衡条件得
Nb 1 fcbh0b f y' As' f y As
f y As 1 f cbh0b f'yA's
h b h0 h ' ' h ' M b N b e0b 1 f c bh0 b ( ) f y As ( as ) f y As ( as ) 2 2 2 2

理想的四边支承薄板
特点：在中面内的边缘均匀压力作用下，板在最初阶段保持 平直。当压力达到某一限值 Pcr 时，薄板突然产生凸曲（屈
曲），由于屈曲后薄板不仅有弯曲，而且还产生了中面的拉
伸和压缩（薄膜张力），板内应力发生重分布，荷载向挠度 较小的边缘部分转移，形成在弯曲状态下的新的平衡。
极限荷载：一般利用屈曲后强度，极限荷载Pmax大于屈曲荷
当外力为保守力系时
（体系的总势能） U（变形势能） W（外力势能）
图2
图3
W Tr (外力的功） U Tr
当体系偏离平衡位置，发生微小移动时
若U Tr , 则原体系处于稳定平衡 。 若U Tr , 则原体系处于不稳定平 衡。
若U Tr , 则原体系处于随遇平衡 ，利用此条件确定临界 荷载。
2
初始缺陷对压杆稳定的影响
实际的构件本身存在不同的初始缺陷，包括力学缺陷和 几何缺陷。
（1）力学缺陷
• 截面各部分屈服点不一致
• 残余应力（钢结构）
（2）几何缺陷 • 初弯曲 • 初偏心
主要影响因素

初弯曲的影响
假设初弯曲形状为正弦半波，跨中最大初挠度为v0， 即：
l 内弯矩： M i EIy
（2）截面受拉区的拉力全部由钢筋承担，不考虑混凝土的抗拉作用； （3）材料本构关系已知； （4）不考虑龄期、环境等影响。
基本公式
变形条件
1/
c s
h0

c
kh0

s
(1 k )h0
平衡方程：
力的平衡 弯矩平衡
轴心受压短柱
Nc
As
h
b
Nc
A
混凝土压碎
钢筋凸出
截面分析的基本方程
载；极限承载力最终取决于受力最大部分的应力达到屈服强 度。

偏心受压构件
特点：从一开始起，构件即产生侧移（产生弯曲变形）。随
着压力的增加，构件的侧移持续增大，由于弯曲变形逐步增
大，跨中截面可能出现部分塑性区，由于塑性变形的产生， 使侧移的增大也越来越快，当压力达到最大值Pmax时，荷载 必须下降才能维持内外力的平衡，即具有极值点和下降段， 称为极值点失稳，亦称第二类失稳。 极限荷载：极限承载力小于屈曲荷载 Pcr ，等于最大荷载 Pmax ，Pmax 称为失稳极限荷载或压溃荷载。
考虑一理想轴压杆，按 随遇平衡法计算构件的分枝
屈曲荷载时取图示脱离体并
建立平衡微分方程。
M i EI y
M e Py
杆件处于临界状态时，内外 弯矩相等，即
EIy Py
令
P k2 得 EI
y k 2 y 0
上式为常系数线形二阶齐次微分方程，其通解为：
y A sin kz B cos kz
切线模量理论、双模量理论、Shanley理论

切线模量理论
假定：当荷载达到Pt构件产生微弯时，其值还略有 增加。增加的平均轴向应力恰好可以抵消截面边缘
由弯曲引起的拉应力，整个截面都处于加载过程中，
因此，切线模量Et通用于全截面。 临界力及临界应力：
Pt
2 Et I
l2 2 Et
t
线发生，这是另一个基本的自然规律。面临弯出去还是缩
短的选择，柱子发现在荷载相当小的时候，缩短比较容易 ；当荷载相当大时，弯出去比较容易。换句话说，当荷载
达到它的临界值时，用弯曲的办法来降低荷载位置比用缩
短的办法更为容易些。”
《建筑结构》萨瓦多里，穆勒
三种平衡状态
图1
（1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。 （2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。 （3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。
轴心压杆的弹性弯曲屈曲
通常，对于细长柱，在轴向应力超过比例极限之前外荷 载就已经达到临界力，构件始终处在弹性工作范围内，属于
弹性稳定问题。
轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲
对于中长柱和短柱，在外荷载达到临界力之前，轴向应
力将超过材料的比例极限，因此，在确定其屈曲荷载时必须 考虑到非弹性性能。
轴心压杆的弹性弯曲屈曲
A、B为代定常数，由边界条件确定。 边界条件
z 0 得 y 0
B coskz 0
coskz 0
zl 由 y 0
得
B 0
Asin kl 0
A 0
sin kl 0
n 即 kl n （n=1、2、3……），即 k l
当n=1时P最小，即为临界力
x 当 b时，为大偏心受压破坏 h0 x 当 b时，为小偏心受压破坏 h0
N
M
As'
As'
As' 不屈服
受拉破坏
xcb
a s'
' y
y
界限破坏
受压破坏
cu
h0
大、小偏压界限状态的进一步讨论 ei与0.3h0

b即x bh0属于大偏心破坏形态 ＞ b即x > bh0属于小偏心破坏形态
“界限破坏”
破坏特征：破坏时纵向钢筋达到屈服强度，同时压区混凝 土达到极限压应变，混凝土被压碎。同受弯构件的适筋梁 和超筋梁间的界限破坏一样。此时相对受压区高度称为界 限相对受压区高度b。 受压区边缘混凝土极极限应变值。各国取值相差不大， 美国ACI一318—8取0.003；“CEB—FIP一70”和 “DINl045-72„‟取0.0035；我国《规范》根据试验研究取 0.0033. 因此，受压构件的界限相对受压区高度同受弯构件一样。
矩形截面对称配筋偏心受压构件计算曲线