2013-2014年第二学期《量子光学基础》考试试题
1、V 型三能级原子与两个经典光场作用。
频率为ω1的经典光场与能级|a>，|b>耦合，频率为ω2的经典光场与能级|a>，|c>耦合。
系统的哈密顿量为H =H 0+H 1，H 0=ℏωa |a ><a |+ℏωb |b ><b |+ℏωc |c ><c |,
H 1= -ℏ
2
�ΩR1e −iϕ1e −iω1t |a ><b |+ΩR2e −iϕ2e −iω2t |a ><c |�+H.c.
ΩR1e −iϕ1和ΩR2e −iϕ2是复拉比频率。
原子的波函数可以写为�ψ(t )> =c a (t )e −iωa t �a >+c b (t )e −iωb t |b >+c c (t )e −iωc t |c>。
原子和光场共振，即：ωa −ωb =ω1, ωa −ωc =ω2. 通过解薛定谔方程，可以求得波函数。
（1）求c a (t )，c b (t )，c c (t )所满足的微分方程；（2）假设原子的初态为|ψ(0)>=cos θ
2|b >
+sin θ
2|c >. 求出c a (t )，c b (t )，c c (t )；
（3）当ΩR1，ΩR2，，ϕ1，ϕ2满足什么条件时，原子在演化过程中始终处于下两个能级态|b>、|c>的叠加态，而不被激发到激发态上去。
这种现象叫做相干囚禁(coherent trapping), 从物理上解释这种现象。
（见M. O. Scully ，M. S. Zubairy 的书《quantum optics 》223-224页, 世界图书出版公司出版，中国，北京）
|a>
|c>
2、增加了一个光子的相干态(Single-photon-added coherent state(SPACS))，|α,1> =
a +
�1+|α|2
|α>. 考虑该辐射场的两个厄米算符†11()2
X a a =+, †
21()2X a a i =−,它们分别对应于场的复振幅的实部和虚部, 满足对易关系[]12,2
i
X X =. 当α取何值时(本题α取正实
数)SPACS 态,时是压缩态。
(提示：压缩条件（ΔX i ）2<1/4, 或（ΔX 2）2
<1/4）。
3、考虑一个理想的光学腔，腔里有单模辐射场|ϕ(0)>F =
1
√2(|0>-i|10>)。
处于基态且与单模
场共振的二能级原子|φ(0)>A =|g >进入该光学腔，与场发生作用，相互作用的哈密顿量为)(22÷−++=a a g H I σσ （在相互作用绘景中研究）。
系统的演化方程为|ψ(t)>AF =e
−i
ℏ
H I t
|ϕ(0)>F |φ(0)>A 。
作用一段时间后原子从腔中逸出。
经探测：出射原子处于激发态
|e >。
(1) 计算该单模场初始时刻|ϕ(0)>F 的平均光子数n �；(2)任意时刻系统的态|ψ(t)〉AF ; (3) 原子出射后，腔内的辐射场的平均光子数变为多少？
4、对于一个由赝自旋算符S e g +=，S g
e −=和()/2z S e e g g =−描述的二
能级原子，可定义两个厄米算符：1()/2S S S +−=+，2()/(2)S S S i +−=−，它们的对易关
系12,S S =iS 3, S 3=1/2σz 。
相应的海森堡不确定关系为(∆S 1)2 (∆S 2)2≥1/4|<S 3>|2
,
这里(∆S i )2 =<S i 2>−<S i >2是原子算符i S 的量子涨落。
如果量子涨落满足(∆S i )2 <1/2|<S 3>| (i=1或2），我们说原子算符的量子涨落被压缩，原子出现压缩效应。
当原子
处于 cos()sin()22
e g θθ
ψ=+时1S 的平均值1S ，求出分量1S 压缩的条件。
5、设原子初态
g e A
ααϕsin cos )
0(+=，光场初态是粒子数态6)
0(=F
ϕ。
该原
子与光场之间的相互作用可用双光子J-C 模型描述，在共振条件和相互作用绘景中其哈密顿量表示为)(22÷−++=a a g H I σσ ，求任意时刻t ，（1）该复合系统态矢。
（2）原子处于激发态的概率，画出概率图形（4/πα=，横坐标表示时间，纵坐标表示概率）。
(要求给出程序）
6、一个二能级原子A 与热库E （环境）
相互作用如下：E
A
E
A
AE e
g
U 0
=，
E A
E
A
E
A
AE g
p e
p e
U 10
10
+−=，其中p 与时间有关，E 0是环境的真空态。
原子的演化可用Kraus 算符和表示：+∑=
i i
A
i A M M t )0()(ρ
ρ。
Kraus 算符的定义是：
E AE E i U i M 0=。
（1）试求出0M 和1M 。
（2）设原子初态为
=c d b a A )0(ρ，
求出)(t A ρ。
7、二能级原子与单模光场发生双光子共振相互作用，系统的哈密顿量为H =ℏλ[σ−(a +)2+σ+a 2]. 假设原子初态（t=0时刻的量子态）为激发态|e >，光场初态|n >。
（1）求系统任意时刻的平均光子数；（2）画出平均光子数与时间的关系。
（要求给出程序）
8、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为H =ℏλ(σ−a ++σ+a ).如果
原子t =0时刻处于激发态|e >，而光场处于相干态|α>,计算任意时刻t 原子处于基态|g >的概率P g (t), 并作出图形（横坐标表示时间，纵坐标为概率。
为方便，α=1）。
9、二能级原子与单模光场发生双光子共振相互作用，系统的哈密顿量为H=ℏλ[σ−(a+)2+σ+a2]. 假设原子初态（t=0时刻的量子态）为激发态|e>，光场初态为相干态|α>。
求系统任意时刻的量子态。
10、二能级原子与单模光场发生共振相互作用，系统的哈密顿量为H=ℏλ(σ−a++σ+a).如果原子t=0时刻处于cosθ|e>+sinθ|g>，而光场处于相干态|α>,定义原子算符S1=1/2(|e><g|+|g><e|), 求任意时刻t，S1的平均值。
11、压缩态的另一种定义：|α>g=D(α)S(ξ)|0>. 我们学过的压缩态为|β>g=S�ξD(β)�|0>. 若|α>g=|β>g，利用它们关于X1=1/2(a+a+)和X2=−i/2(a−a+)的涨落图，求出α和β的关系。
12、下图椭圆表示某压缩相干态光场的两正交分量X1=1/2(a+a+)和
X2=−i/2(a−a+)的涨落范围。
已知椭圆长轴长为(∆X2)=5，椭圆中心坐标为(0,6) （1）若该压缩态相干态�β>g=S(ξ)D(β)�0>，求β,ξ；
（2）若压缩态相干态�β>g=D(β)S(ξ)�0>，则β,ξ又是多少？
)=1/2e r
1
13、薛定谔猫态|ψ>=x[|α>+|−α>], （1）求归一化系数x, （2）定义光场的两个相位正交的振幅分量X1=1/2(a+a+)和X2=−i/2(a−a+)，讨论X1的压缩条件。