二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n(n N ) ，2．基本概念：①二项式展幵式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展幵式。

②二项式系数: 展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展幵式中的第r 1项C：a nr b r叫做二项式展幵式的通项。

用T r 1 C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：①项数：展幵式中总共有(n 1)项。

②顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。

(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。

b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。

各项的次数和等于n.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn.C , .C n', ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。

4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n Cn C：x CnX2 L c；x r L C；x n(n N )令a 1,b x, (1 x)n C O C：X C'x2 L C；x r L ( 1)n C；x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即②二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为变形式 c n C ； L c n L C ：2③奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令a 1,b1 ,④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n式系数c 2取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式n 1 n 1系数cF , C 王同时取得最大值⑥系数的最大项： C (a bx)n 展幵式中最大的项，般米用待定系数法。

设展幵式中各项系数分别从而解出r 来6.二项式定理的^一种考题的解法: 题型一：二项式定理的逆用； 例：c n Cn 6 c 3 62 L Cn 6n 1Cn ,-• C n kCnc 0 c n C ： L c n LC ： 2n ,c 0 c n c ；c n 3 L ( 1)n C n n (1 1) 从而得到：c 0 c 2 c 4 c'rc n CnLc ；r 112n 2n1⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时, 则中间一项的二项为AA, ,A n1，设第r 1项系数最大，应有A 1 A r 1A r A r解：（1 6）n C0c n 6 C；62C；63L C：6n与已知的有一些差距,练: C n 3C2 9C3 L 3n 1C n .设S n C n 3C： 9C3 L 3n 1C：，贝y解:3S n C：3 C232C；33L C；3n C0 C：3 C^2C；33 L C：3n 1 (1 3)n 1(1 3)n 1 4n 1S n3 3题型二：利用通项公式求x n的系数；例：在二项式（4 3F）n的展幵式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知C：2 45，即C；45，n；n 90 0，解得n 9（舍去）或n 10，由1 2 10 r 2rT r i G0（x 刁）10 r（x；）r，由题意-r 3,解得r 6，4 3贝y含有X3的项是第7项T6 1 C10X3 210x3,系数为210。

练：求（x2丄）9展幵式中x9的系数？2x解: T r 1 C9（x2）9 r（丄）r C；x182r（ -）r x r C9（ -）r x183r，令18 3r 9,则r 32x 2 2故x9的系数为C：（片却。

2 2题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式（x22^0的展开式中的常数项?解：「曲严（2：广51 20 r1)rx2令202r 0，得r 8，所以45 256练：求二项式(2x 丄)6的展幵式中的常数项？2x解: T r ! c ；(2x)6r ( 1)r (丄)r ( 1)r C 626 r (-)r x 6 2r ，令 6 2r 0,得 r 3，所以 2x 233T 4 ( 1) C 620练：若(x 2 [)n 的二项展幵式中第5项为常数项，则n ____.x解: T 5 c 4(x 2)n4』)4 c 4x 2n 12，令 2n 12 0,得 n 6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式c.x 3x)9展幵式中的有理项？1127 r解：T r1c 9(x 2)9 r ( x 3)r( 1)r C 9r x^，令辽丄 Z ,( 0 r9)得 r 3或r 9，6所以当 r 3时，孔丄 4，T 4 ( 1)3C<3x 484x 4，627 r3933当 r 9 时，3， T 10 ( 1) C 9x x 。

6题型五：奇数项的二项式系数和 二偶数项的二项式系数和；令x 1,则有a 。

a 1a n0,①，令x 1,则有a ° a 1 a 2a 3(1)n a n2n ,②将①-②得：2( a 1a 3a 5)2n , a 1a 3 a 52* 1有题意得，2n 125628 ， n 9 0练：若(# 5右亍的展幵式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：QC n 0 Cn Cn C 2r c ： Cn L C 2r 12n 1 , 2n1 1024，解得n 11例：若G-x 2)n 展幵式中偶数项系数和为256，求 n .解：设(■. x 2)n 展幵式中各项系数依次设为a 。

®, a *,11所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T5 1 C；(3 1)6(5 ! )5 462 x 4,61T6 1 462 x题型六：最大系数，最大项；例：已知(丄2x)n，若展幵式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数2列，求展幵式中二项式系数最大项的系数是多少？解：QC； Cn 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14，当n 7时，展幵式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数C3(1)423沒，2 2T5的系数C；』)324 70,当n 14时，展幵式中二项式系数最大的项是T8，21T8的系数C；4(2)7273432。

练：在(a b)2n的展幵式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n T n 1，也就是第n 1项。

2- 1练：在(| 3：)n的展幵式中，只有第5项的二项式最大，则展幵式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则1 5，即n 8,所以展幵式中常数项为第2七项等于C^g)27例：写出在(a b)7的展幵式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4 C3a4b3的系数最小，T s C74a3b4系数最大。

例：若展幵式前三项的二项式系数和等于79，求(12x)n的展幵式中系数最大2的项？解：由Cn c n Cn 79,解出n 12,假设T r1 项最大，Q (12x)12 (-)12(1 4x)122 2A r 1 A r 1A C r4r C r 14r 1r 12 121 1，化简得到9.4 r 10.4，又Q0 r 12，A r 2 CM C1^4r 1r 10，展幵式中系数最大的项为昭有T n加"10 16896x10练：在(1 2x)10的展幵式中系数最大的项是多少？解：假设T r 1 项最大，QT r 1 G； 2r x rA r 1 A r 1r r r 1 r 1A r C^ C^21解得2(11 r) r，化简得到A r 2 C；2r c；。

©1, r 1 2(10 r)6.3 k7.3，又Q 0 r 10，r 7 ,展幵式中系数最大的项为T80702.715360X7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 3x 2)5的展幵式中x的一次项的系数?解法①：(x23x 2)5[(x22) 3x]5，£ 1 C5(x22)5 r(3x)r，当且仅当r 1 时，T r 1的展幵式中才有x的一次项，此时T r 1 T2 C5(x2 2)43x，所以x得一次项为C5C：243X它的系数为C；C：243 240。

解法②：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C°x5 C5x4C f)(C5)x5 C5x42 C；25)故展幵式中含x 的项为C ；xC ；25 C ：x24 240x ，故展幵式中x 的系数为 240.T r 1 C 6( 1)r |x 6 r (l)r ( 1)6C 6|x 62r ，得 6 2r 0, r 3, l xl3 3T 3 1 ( 1) C 620.题型八：两个二项式相乘;例: 求(1 2x) (1 x)展开式中x 的系数. 解:Q (1 2x)3的展开式的通项是 C m (2x)m C m 2m x m , 令m n 2,则m 0且 n 2, m 1且 n 1,m 2且 n 0,因此(1 2x)3(1 x)4 的展开式中 X 2的系数等于 C? 20 C 2 (1)2 C 3 21 C 4(1)1C ； 22 C 0 ( 1)06 .练：求(1 3x)6(1 J 二*展开式中的常数项. v x.mn4m 3n解:(1 3 x)6(1 41)10展开式的通项为 c j x 3 C ：0X 4 c m C 10 x 12 时得展开式中的常数项为 C ； C 10 C ； C ；0C ； C 0 4246.练：已知(1 x x 2)(x 3)n的展开式中没有常数项，n N 且2 n 8,则n.x解:(x A )n 展开式的通项为c n x n r x 3r c n x n 4r,通项分别与前面的三项相乘可得 x题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和;例：在(x72) 2006的二项展开式中，含x 的奇次幕的项之和为 S,当x 血时,S ______解: 设(x \ 2) 2006=a 0ax 1 a 2x 2 a 3x 3 La 2006x 2006 ------- ①练：求式子(x2)3的常数项?解：(Xx2)3C. X1项为常数项，则题型十：赋值法；例：设二项式(33 x 1)n的展幵式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为xs,若p s 272,则n等于多少？解：若(3皈 -)n a。

aix a?x2a n X n，有P a。

a i a n，x0 n nS C n C n 2令x 1 得P 4n，又p s 272 ,即4n 2n 272 (2n 17)(2n 16) 0解得2n 16或2n17(舍去)，n 4.n练：若3-x 1的展幵式中各项系数之和为64，则展幵式的常数项为多.x少？n解：令x 1，贝y 3寂丄的展幵式中各项系数之和为2n 64，所以n 6，d x例: 则展幵式的常数项为C：(^x)3 (1)3540.、、x若(1 20092x) 1 2a0 a1x a2x 3a3X 2009 .a2009x(XR),则ai a2 笋的值为解: 令x,可得a°a〔a?~ ~2a2009^2009a〔a?0, 1 2a2009^20092 2 2 2 2练: 若(x2)5a§x54a4X 3 2a3X a?x qx1a°,则a1a2 a3解: 令x0得a。