练习13 勾股定理一、单选题1.直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A．13 B．C．13或D．13或12【解答】解：当12是直角边时，斜边长＝＝13．故它的斜边长为13或12．故选：D．【知识点】勾股定理2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（）A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；由AC•BC＝CD•AB得到：CD＝＝＝（cm），故选：D．【知识点】勾股定理3.已知，△ABC的三边分别为a，b，c，其对角分别为∠A，∠B，∠C．下列条件能判定△ABC一定不是直角三角形的是（）A．a：b：c＝：：B．b2﹣a2＝c2C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．∠B＝∠A+∠C【解答】解：A．∵a：b：c＝：：，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵b2﹣a2＝c2，∴a2+c2＝b2，∴∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∠B＝∠A+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【知识点】三角形内角和定理、勾股定理的逆定理4.如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BE＝2，DE＝3，∠BDE＝15°，点P在线段AE上，PD＝DE，△ADQ是等边三角形，连接PQ交AC于点F，则PF的长为（）A．2 B．3 C．D．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∴∠B＝45°，∵∠BDE＝15°，∴∠PED＝∠B+∠BDE＝60°，∵PD＝DE，∴△PDE是等边三角形，∴∠EDP＝∠DEP＝∠EPD＝60°，PE＝DE＝3，∴AP＝AB﹣BE﹣PE＝6﹣2﹣3＝1，∵△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∠ADQ＝60°，∴∠ADE＝∠PDQ，在△ADE与△QDP中，，∴△ADE≌△QDP（SAS），∴∠DPQ＝∠DEA＝60°，∴∠APF＝60°，∵∠P AF＝90°，∴PF＝2AP＝2，故选：A．【知识点】等边三角形的性质、等腰直角三角形5.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为64，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案，下列关系式中不正确的是（）A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11【解答】解：根据勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，①﹣②可得2xy＝55③，∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，①+③得x2+2xy+y2＝119，∴x+y＝，∴选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．【知识点】勾股定理的证明、全等图形、完全平方公式的几何背景二、填空题6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，则DE＝cm．【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，则由勾股定理得到：AC＝＝＝6（cm）．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，∴ED＝CD，设ED＝CD＝x（x＞0），在直角△ACD中，AD2＝AE2+ED2，即（6﹣x）2＝（10﹣8）2+x2．解得x＝．即DE＝cm．故答案是：．【知识点】勾股定理、角平分线的性质7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为．【解答】解：连接BD．∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵BC＝4，CD＝8，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×8＝4+16，故答案为4+16．【知识点】勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质8.如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点A，B，C，D都在格点上，则线段长度为的是．【解答】解：AB＝＝，BC＝3，CD＝＝，AD＝＝，故长度为的线段是AB，故答案是：AB．【知识点】勾股定理9.如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为．【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144，所以AB＝5，AC＝12，BC＝＝＝13，所以S阴影＝BC2﹣＝132﹣＝139．故答案是：139，．【知识点】勾股定理10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①当AB＝BP时，如图1，t＝5；②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．故答案为：5或t＝8或t＝．【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质三、解答题11.如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长．【解答】解：∵AC＝20，AD＝16，CD＝12，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，在直角△BCD中，BC＝15，CD＝12，∴BD＝＝9，∴AB＝AD+BD＝25．【知识点】勾股定理的逆定理12.在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．【解答】解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，CD==15，∴BC=BD+CD=6+15=21，∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84．因此△ABC的面积为84．故答案为84．【知识点】勾股定理的逆定理、勾股定理探究题：13.如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．【解答】解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：【知识点】实数与数轴、勾股定理14.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20，∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．故答案为：是；（2）∵Rt△ABC是常态三角形，∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，则2a2＝3b2，故a：b＝：，∴设a＝x，b＝x，则c＝x，∴此三角形的三边长之比为：：：．故答案为：：：；（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，解得：BD＝DC＝6，则AB＝12，故AC＝＝6，则△ABC的面积为：×6×6＝．当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，解得：BD＝DC＝2，则AB＝4，故AC＝2，则△ABC 的面积为：×6×2＝6．故△ABC 的面积为或6．【知识点】勾股定理15.细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：（1）推算OA10的长和S10的值；（2）直接用含n（n为正整数）的式子表示OA n的长和S n的值；（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．OA12＝1；+1＝2；+1＝3；+1＝4；…S1＝；S2＝；S3＝；…【解答】解：（1）∵，，…，∴OA210＝10，∴，∵，，…，∴；（2）由（1）可知，，；（3）S12+S22+S32+…+S102＝．【知识点】规律型：图形的变化类、勾股定理16.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC ＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【解答】解：【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故答案为：5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．故答案为：28．（3）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案为：．[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．【知识点】勾股定理的证明、等边三角形的判定.。