目录
空间向量的概念与运算 (2)
考点1：空间向量的运算 (2)
题型一：空间向量的运算 (3)
考点2：用空间向量证明平行垂直 (5)
题型二：空间向量证明线面平行、垂直 (5)
考点3：用空间向量求点面距离与线面角 (7)
题型三：空间向量求点面距离 (8)
题型四：空间向量求线面角 (9)
考点4：用空间向量求二面角 (11)
课后综合巩固练习 (12)
空间向量的概念与运算
考点1：空间向量的运算
1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似； 2．空间向量的基本定理：
共线向量定理：对空间两个向量a ，b （0b ≠），a b ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+．
空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一一个有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++．
表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．
上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
四点共面定理：设点O 为空间任意一点，点A B C ，，是空间不共线的三点，又点P 满足等式：
OP xOA yOB zOC =++，其中x y z ∈R ，，，
则P A B C ，，，四点共面的充要条件是1x y z ++=．
3．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，
，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，
．通常规定0πa b 〈〉≤，≤． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，
，． 如果90a b 〈〉=︒，
，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 4．两个向量的数量积：
已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：cos a b a b a b ⋅=〈〉， 空间两个向量的数量积具有如下性质： ⑴ 0a
b a b ⇔⋅=；⑵ 2
a a a =⋅；⑶ a
b a b ⋅≤．
空间两个向量的数量积满足如下运算律：
⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅；⑵ a b b a ⋅=⋅；⑶ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
题型一：空间向量的运算
例1.1．（2020春•和平区期中）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111
532
OM OA OB OC =++
C ．0MA MB MC ++=
D ．0OM OA OB OC +++=
例1.2．（2019秋•龙岩期末）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
AB a =，AD b =，1AA c =，M 是1D D 的中点，点N 是1AC 上的点，且11
3
AN AC =，用,,a b c 表示向量MN 的
结果是( )
A ．1
2
a b c ++
B ．114555
a b c ++
C ．131
5105
a b c --
D ．121
336
a b c --
例1.3．（2019秋•泰安期末）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===，则1(B M = )
A ．11
22a b c ---
B ．11
22a b c +-
C ．11
22a b c --
D ．11
22
a b c -+-
例1.4．（2020•东湖区校级一模）如图：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11
B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是( )
A ．11
22
a b c -++
B ．11
22
a b c ++
C ．11
22
a b c --+
D ．11
22
a b c -+
例1.5．（2016秋•大石桥市校级期中）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123BC e e =+，122CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值为 ．
例1.6．（2009春•北林区校级期末）若ABC ∆中，90C ∠=︒，(1A ，2，3)k -，(2B -，1，
0)，(4C ，0，2)k -，则k 的值为( )
A B ．C ．D ．
例1.7．（2019秋•天津期末）已知空间向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-，若a b ⊥，则实数
(m = ) A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
例1.8．（2019秋•深圳期末）若向量(0a =，1，1)-，(1b =，1，0)，且()a b a λ+⊥，则
实数λ的值是( ) A ．1-
B ．0
C ．2-
D ．1
例1.9．（2016秋•伊春区校级期末）(2a x =，1，3)，(1b =，2y -，9)，如果a 与b 为共线向量，则x y += ．
例1.10．（2016秋•湛江期末）已知空间三点(1A ，1，1)、(1B -，0，4)、(2C ，2-，3)，则AB 与CA 的夹角θ的大小是 ．
考点2：用空间向量证明平行垂直
1．直线的方向向量与平面的法向量的概念； 2．线、面平行与垂直：
（设直线12l l ，的方向向量分别为12v v ，，平面αβ，的法向量分别为12n n ，
） ⑴线线的平行关系：1l ∥2l （或1l 与2l 重合）1v ⇔∥2v ；
线面的平行关系：1l ∥α或1l α⊂⇔存在实数x y ，，使1v xm yn =+110v n ⇔⋅= （其中m n ，
为平面α内的两个不共线的向量） 面面的平行关系：α∥β（α，β重合）⇔1n ∥2n ； ⑵线线垂直：1
2l l 12120v v v v ⇔⇔⋅=；
⑶线面垂直：1l α⊥11v n ⇔∥； ⑷面面垂直：12120n n n n α
β⇔⇔⋅=；
题型二：空间向量证明线面平行、垂直
例2.（2019秋•河西区期末）若两个向量(1AB =，2，3)，(3AC =，2，1)，则平面ABC 的一个法向量为( )
A ．(1-，2，1)-
B ．(1，2，1)
C ．(1，2，1)-
D ．(1-，2，1)
例3.1 （2019•西湖区校级模拟）给出下列命题：
①直线l 的方向向量为(1a =，1-，2)，直线m 的方向向量(2b =，1，1
)2
-，则l 与m 垂直；
②直线l 的方向向量(0a =，1，1)-，平面α的法向量(1n =，1-，1)-，则l α⊥； ③平面α、β的法向量分别为1(0n =，1，3)，2(1n =，0，2)，则//αβ；
④平面α经过三点(1A ，0，1)-，(0B ，1，0)，(1C -，2，0)，向量(1n =，u ，)t 是平面
α的法向量，则1u t +=．
其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
例3.2 （2019秋•滁州期末）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l α⊂/，则使
//l α成立的是( )
A ．(1a =，1-，2)，(1n =-，1，2)-
B ．(2a =，1-，3)，(1n =-，1，1)
C ．(1a =，1，0)，(2n =，1-，0)
D ．(1a =，2-，1)，(1n =，1，2)
例3.3 （2019秋•咸阳期末）若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =，平面α的法向量为(2n =-，0，4)-，则( ) A ．//l α B ．l α⊥
C ．l α⊂
D ．l 与α斜交
例3.4 （2018秋•西城区期末）平面α经过三点(0O ，0，0)，(2A ，2，0)，(0B ，0，2)，则平面α的法向量可以是( ) A ．(1，0，1) B ．(1，0，1)-
C ．(0，1，1)
D ．(1-，1，0)
例3.5 （2017秋•让胡路区校级期末）若直线l 的一个方向向量(2,2,2)a =-，平面α的一个法向量为(1,1,1)b =-，则( )。