学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·广州高二检测)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 由a·b ＝|a ||b |cos θ＝|a||b|可知cos θ＝1，由此可得a 与b 共线；反过来，若a ，b 共线，则cos θ＝±1，a·b ＝±|a ||b |.故a·b ＝|a ||b |是a ，b 共线的充分不必要条件．【答案】 A2．如图2-2-7所示，已知三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )图2-2-7A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13 D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →－23OM →＋23ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.【答案】 D3．已知e 1、e 2互相垂直，|e 1|＝2，|e 2|＝2，a ＝λe 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，且a 、b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.12 B ．14 C ．1D ．2【解析】 ∵a ⊥b ，∴(λe 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝0. 又e 1⊥e 2，∴e 1·e 2＝0.∴λe 21－2e 22＝0.又∵|e 1|＝2，|e 2|＝2，∴4λ－8＝0，∴λ＝2. 【答案】 D4．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )【导学号：32550026】A. 2 B ． 3 C. 5D ．7【解析】 依题意得|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝ 3.【答案】 B5.如图2-2-8所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )图2-2-8A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉 又OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．如图2-2-9，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AM →＋12A 1A →＝________.(用a 、b 、c 表示)图2-2-9【解析】 AM →＋12A 1A →＝AA 1→＋A 1M →－12AA 1→＝12AA 1→＋12A 1C 1→ ＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→) ＝12a ＋12b ＋12c ＝12(a ＋b ＋c )． 【答案】 12(a ＋b ＋c )7.如图2-2-10，在45°的二面角α-l -β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．图2-2-10【解析】 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2.【答案】2－ 28．如图2-2-11所示，已知空间四边形ABCD 每条边和对角线都等于1，点E ，F 分别是CD ，AD 的中点，则AB →·EF →＝________.【导学号：32550027】图2-2-11【解析】 ∵EF →綊12CA →，〈AB →，AC →〉＝60°，∴〈AB →，FE →〉＝120°. ∴AB →·EF →＝|AB →||EF →|cos 〈AB →，EF →〉 ＝1×12cos 120°＝－14. 【答案】 －14 三、解答题9．在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC .M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .【证明】 如图，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →)＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b ，∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a·c －a·b ＋b·c －b 2＋c 2－b·c ) ＝14(|a |2cos θ－|a |2cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG ⊥BC .10．如图2-2-12，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .求证：EH →与FG →为共线向量．图2-2-12【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →) ＝12BD →.又∵CF ＝2FB ，CG ＝2GD ， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →. ∴FG →＝CG →－CF → ＝23CD →－23CB → ＝23(CD →－CB →) ＝23BD →.∴BD →＝32FG →.∴EH →＝34FG →.∴EH →与FG →为共线向量．[能力提升]1．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定【解析】 BD →＝BA →＋AD →，BC →＝BA →＋AC →，CD →＝CA →＋AD →， ∴cos 〈BD →，BC →〉＝(BA →＋AD →)·(BA →＋AC →)|BA →＋AD →|·|BA →＋AC →|＝BA →2|BA →＋AD →||BA →＋AC →|＞0， ∴〈BD →，BC →〉为锐角，同理cos 〈CB →，CD →〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB →，DC →〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形． 【答案】 B2．如图2-2-13，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为( )图2-2-13A.13 B ．23 C.33D ．43【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB 2→＋AD 2→＋AA 21→＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→).∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 【答案】 B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 24．如图2-2-14，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．图2-2-14(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长最小．【解】 (1)由已知得|AC →|＝2，|CM →|＝|BN →|＝a . AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →，NF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →，∴NM →＝NF →＋FA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BF →＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)＋FA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(BE →＋BA →)－BE →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2(－BA →＋BC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2BE →，|NM →|＝NM →·NM →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →－a 2BE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22－2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2BC →·BE →＋12a 2＝1－2a ＋a 2(0＜a ＜2)．(2)由(1)知当a ＝22时，|NM →|的最小值为22，即M ，N 分别是AC ，BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22.。